Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = x\,e^{-x^{2}}

.

a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de

f

con los ejes coordenados y los extremos relativos de

f

(abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1,25 puntos] Determina

a > 0

de manera que sea

\dfrac{1}{4}

el área del recinto determinado por la gráfica de

f

en el intervalo

[0,a]

y el eje de abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Corte único } (0,0); \quad f'(x) = e^{-x^{2}}(1-2x^{2}) = 0 \Rightarrow x = \pm\tfrac{\sqrt2}{2}\;}

\boxed{\;\text{Máx. } \left(\tfrac{\sqrt2}{2},\, \tfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}\right); \quad \text{mín. } \left(-\tfrac{\sqrt2}{2},\, -\tfrac{\sqrt2}{2\sqrt e}\right) \approx \pm 0{,}43\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \frac{1-e^{-a^{2}}}{2} = \frac14 \Rightarrow e^{-a^{2}} = \tfrac12 \Rightarrow a = \sqrt{\ln 2} \approx 0{,}833\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), los cortes son inmediatos porque

e^{-x^{2}}

nunca se anula: solo hay un corte, el origen. Los extremos salen de

f' = 0

, y al derivar aparece de nuevo la exponencial como factor común.

En b) la integral es casi inmediata: el integrando

x\,e^{-x^{2}}

es, salvo un factor

-\tfrac12

, la derivada de

e^{-x^{2}}

. No hace falta integrar por partes.

Desarrollo

a) Cortes con los ejes.

f(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x\,e^{-x^{2}} = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \qquad (\text{porque } e^{-x^{2}} > 0 \text{ siempre})

f(0) = 0

El único punto de corte es el origen

(0,0)

, que lo es con los dos ejes a la vez.

Derivada.

f'(x) = 1\cdot e^{-x^{2}} + x\cdot(-2x)\,e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}\bigl(1 - 2x^{2}\bigr)

Puntos críticos.

1 - 2x^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac12 \;\Longrightarrow\; x = \pm\frac{\sqrt2}{2}

Clasificación. El signo de

f'

es el de

1-2x^{2}

f' < 0 \text{ en } \left(-\infty, -\tfrac{\sqrt2}{2}\right), \qquad f' > 0 \text{ en } \left(-\tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}\right), \qquad f' < 0 \text{ en } \left(\tfrac{\sqrt2}{2}, +\infty\right)

x = -\frac{\sqrt2}{2}: \textbf{ mínimo relativo}; \qquad x = \frac{\sqrt2}{2}: \textbf{ máximo relativo}

Valores.

f\left(\pm\frac{\sqrt2}{2}\right) = \pm\frac{\sqrt2}{2}\,e^{-1/2} = \pm\frac{\sqrt2}{2\sqrt{e}} \approx \pm 0{,}429

\text{Máximo } \left(\frac{\sqrt2}{2},\; \frac{\sqrt2}{2\sqrt e}\right), \qquad \text{mínimo } \left(-\frac{\sqrt2}{2},\; -\frac{\sqrt2}{2\sqrt e}\right)

b) El área. En

[0,a]

con

a>0

se tiene

f(x)\geq 0

(la exponencial es positiva y

x\geq 0

), así que el recinto está sobre el eje:

A = \int_{0}^{a} x\,e^{-x^{2}}\,dx

Primitiva casi inmediata. Como

\dfrac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr) = -2x

, basta ajustar la constante:

\int x\,e^{-x^{2}}dx = -\frac12\int (-2x)\,e^{-x^{2}}dx = -\frac{e^{-x^{2}}}{2}

A = \left[-\frac{e^{-x^{2}}}{2}\right]_{0}^{a} = -\frac{e^{-a^{2}}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 - e^{-a^{2}}}{2}

Ecuación.

\frac{1 - e^{-a^{2}}}{2} = \frac14 \;\Longrightarrow\; 1 - e^{-a^{2}} = \frac12 \;\Longrightarrow\; e^{-a^{2}} = \frac12

Tomando logaritmos:

-a^{2} = \ln\frac12 = -\ln 2 \;\Longrightarrow\; a^{2} = \ln 2 \;\Longrightarrow\; a = \sqrt{\ln 2} \approx 0{,}833

(se toma la raíz positiva, como pedía el enunciado).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No integres $x\,e^{-x^{2}}$ por partes: es una integral casi inmediata del tipo $\int g'\,e^{g}$ . Solo hay que ajustar el factor $-\tfrac12$ que falta para completar la derivada del exponente. Por partes también sale, pero das un rodeo innecesario.

En a), la exponencial nunca vale cero: por eso hay un único corte con los ejes y por eso el signo de $f'$ lo decide únicamente el paréntesis $1-2x^{2}$ . Dilo explícitamente.

Y cuidado con el orden en b): de $e^{-a^{2}} = \tfrac12$ se pasa a $-a^{2} = -\ln 2$ , es decir $a^{2} = \ln 2$ . Un signo perdido aquí lleva a " $a^{2}$ negativo, no hay solución", que es la conclusión equivocada más frecuente.