Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea la función

f : [1,\; e]\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{2}-8\ln(x)

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [0,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1 punto] Calcula los extremos absolutos y relativos de la función

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{2\,(x^{2}-4)}{x} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \in [1,e]\;}

\boxed{\;\text{a) Decrece en } (1,2); \ \text{crece en } (2,e)\;}

\boxed{\;f(1) = 1, \quad f(2) = 4-8\ln2 \approx -1{,}55, \quad f(e) = e^{2}-8 \approx -0{,}61\;}

\boxed{\;\text{Máx. abs. } (1,1); \quad \text{Mín. abs. y rel. } \bigl(2,\, 4-8\ln2\bigr); \quad f'' > 0: \text{ convexa}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ojo al dominio: la función está definida solo en el intervalo cerrado $[1,e]$ , así que:

los intervalos de monotonía se dan dentro de $[1,e]$ ,
y para los extremos absolutos hay que evaluar también en los extremos del intervalo $x=1$ y $x=e$ .

Al derivar, unir en una sola fracción deja el signo en manos de

x^{2}-4

.

Y la segunda derivada sale siempre positiva: no hay puntos de inflexión.

Desarrollo

a) La derivada.

f'(x) = 2x-\frac{8}{x} = \frac{2x^{2}-8}{x} = \frac{2\,(x^{2}-4)}{x}

Como

x>0

en el dominio, el signo es el de

x^{2}-4

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \in [1,e] \qquad (\text{la raíz } x=-2 \text{ está fuera del dominio})

1\leq x<2: \; x^{2}<4 \;\Rightarrow\; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

2<x\leq e: \; x^{2}>4 \;\Rightarrow\; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Decrece en } (1,\,2) \qquad \text{Crece en } (2,\,e)

(Recuerda que $e\approx2{,}718>2$ , así que el punto crítico sí está dentro.)

b) Los extremos.

Candidatos:

x=1

x=2

(crítico) y

x=e

f(1) = 1-8\ln 1 = 1

f(2) = 4-8\ln 2 \approx 4-5{,}545 = -1{,}545

f(e) = e^{2}-8 \approx 7{,}389-8 = -0{,}611

Comparación.

\textbf{Máximo absoluto: } (1,\; 1) \qquad \textbf{Mínimo absoluto: } \bigl(2,\; 4-8\ln2\bigr)

Extremos relativos. En

x=2

la derivada pasa de negativa a positiva: es mínimo relativo (y absoluto). Los puntos

x=1

x=e

son extremos del intervalo, no relativos.

c) Concavidad y convexidad.

f''(x) = 2+\frac{8}{x^{2}} = \frac{2x^{2}+8}{x^{2}} > 0 \qquad \text{para todo } x\in[1,e]

\textbf{La función es convexa } (\cup) \text{ en todo } [1,e], \text{ sin puntos de inflexión}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El dominio es $[1,e]$ , no todo $\mathbb{R}$ : la raíz $x=-2$ de $f'$ se descarta, y para los extremos absolutos hay que evaluar también en $x=1$ y $x=e$ .

Distingue absolutos de relativos: en $x=1$ hay máximo absoluto pero no relativo (es un extremo del intervalo, no un punto interior donde la función cambie de monotonía).

$f''>0$ en todo el intervalo: la función es convexa ( $\cup$ ) sin puntos de inflexión. Que la respuesta sea "no hay inflexión" es perfectamente válida y hay que decirlo.