Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{2}-\lvert x\rvert

.

a) [0,5 puntos] Estudia la derivabilidad de

f

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

c) [1 punto] Calcula los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x^{2}-x \text{ si } x\geq0; \qquad f(x) = x^{2}+x \text{ si } x<0\;}

\boxed{\;\text{a) } f'(0^{-}) = 1 \neq -1 = f'(0^{+}) \;\Longrightarrow\; \textbf{no derivable en } x=0\;}

\boxed{\;\text{b) Crece en } \left(-\tfrac12,0\right)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)\;}

\boxed{\;\text{c) Mínimos } \left(\pm\tfrac12,\,-\tfrac14\right); \quad \text{máximo } (0,\,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero, siempre: quitar el valor absoluto escribiendo la función a trozos. El único punto conflictivo es

x=0

, donde

\lvert x\rvert

cambia de rama.

\lvert x\rvert = \begin{cases} x & \text{si } x\geq 0 \\ -x & \text{si } x<0\end{cases}

x=0

la función es continua (las dos ramas valen

0

), así que la derivabilidad se decide comparando las derivadas laterales.

Como la función es par (

f(-x) = f(x)

), basta estudiar

x>0

y reflejar; aun así conviene escribir los dos tramos.

Desarrollo

a) La función a trozos.

f(x) = \begin{cases} x^{2}-x & \text{si } x\geq 0 \\ x^{2}+x & \text{si } x<0\end{cases}

Continuidad en $x=0$ : ambas ramas dan

f(0) = 0

, así que

f

es continua en

\mathbb{R}

(es un polinomio en cada tramo).

Derivadas laterales en $x=0$ .

f'(0^{-}) = \bigl[2x+1\bigr]_{x=0} = 1 \qquad f'(0^{+}) = \bigl[2x-1\bigr]_{x=0} = -1

1 \neq -1 \;\Longrightarrow\; f \textbf{ no es derivable en } x = 0

f \text{ es derivable en } \mathbb{R}\setminus\{0\}, \quad \text{con } f'(x) = \begin{cases} 2x-1 & \text{si } x>0 \\ 2x+1 & \text{si } x<0\end{cases}

b) Signo de la derivada.

x>0: \; 2x-1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac12 \qquad x<0: \; 2x+1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac12

x<-\tfrac12: \; f' = 2x+1 < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

-\tfrac12<x<0: \; f' = 2x+1 > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

0<x<\tfrac12: \; f' = 2x-1 < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

x>\tfrac12: \; f' = 2x-1 > 0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Crece en } \left(-\tfrac12,\,0\right)\cup\left(\tfrac12,\,+\infty\right) \qquad \text{Decrece en } \left(-\infty,\,-\tfrac12\right)\cup\left(0,\,\tfrac12\right)

c) Extremos relativos.

$x = -\frac12$ : de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo relativo.

f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac14-\tfrac12 = -\tfrac14

$x = 0$ : de crecer a decrecer $\Rightarrow$ máximo relativo (aunque no haya derivada: es un pico).

f(0) = 0

$x = \frac12$ : de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo relativo.

f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac14-\tfrac12 = -\tfrac14

\text{Mínimos } \left(-\tfrac12,\,-\tfrac14\right) \text{ y } \left(\tfrac12,\,-\tfrac14\right); \qquad \text{Máximo } (0,\,0)

(Los mínimos son además absolutos; el máximo es solo relativo, porque $f\to+\infty$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Continua no implica derivable. En $x=0$ las dos ramas empalman ( $f$ es continua), pero las pendientes laterales son $+1$ y $-1$ : hay un pico.

El punto $x=0$ sí es extremo aunque $f'(0)$ no exista. Buscar extremos solo resolviendo $f'=0$ te haría perder el máximo, que es el más llamativo de la gráfica.

Aprovecha que $f$ es par: los resultados en $x<0$ son el reflejo de los de $x>0$ . Sirve como comprobación rápida de que los dos mínimos valen lo mismo.