Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Junio

Enunciado

Ejercicio 1. Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 1}

para

x \neq 1, -1

.

a) [1,25 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Verticales } x = 1 \text{ y } x = -1; \quad \text{oblicua } y = x\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{x^{2}(x^{2}-3)}{(x^{2}-1)^{2}}\;}

\boxed{\;\text{Creciente en } \bigl(-\infty,-\sqrt3\bigr) \text{ y } \bigl(\sqrt3,+\infty\bigr); \; \text{decreciente en el resto del dominio}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el numerador de grado uno más que el denominador: eso garantiza asíntota oblicua y descarta la horizontal. La forma de obtenerla es dividir los polinomios.

Para las verticales, los candidatos son

x = \pm 1

; hay que comprobar que el numerador no se anula ahí (no lo hace: vale

\pm 1

).

En b), la derivada tiene un numerador que se factoriza como

x^{2}(x^{2}-3)

. El factor

x^{2}

se anula en $0$ pero no cambia de signo, así que

x=0

es un punto de tangente horizontal que no es extremo: un detalle que conviene señalar.

Desarrollo

a) Asíntotas verticales. Los ceros del denominador son

x = 1

x = -1

. El numerador vale ahí

1

-1

respectivamente, no se anula, así que ambas son asíntotas verticales:

x = 1 \qquad \text{y} \qquad x = -1

Asíntota oblicua. Dividiendo

x^{3}

entre

x^{2}-1

\frac{x^{3}}{x^{2}-1} = x + \frac{x}{x^{2}-1}

Como el resto

\dfrac{x}{x^{2}-1} \to 0

cuando

x \to \pm\infty

, la recta

y = x

es asíntota oblicua en los dos extremos. No hay asíntotas horizontales.

b) Derivada.

f'(x) = \frac{3x^{2}\bigl(x^{2}-1\bigr) - x^{3}\cdot 2x}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}} = \frac{3x^{4} - 3x^{2} - 2x^{4}}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}} = \frac{x^{4} - 3x^{2}}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}}

f'(x) = \frac{x^{2}\bigl(x^{2} - 3\bigr)}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}}

Signo. El denominador es un cuadrado (positivo en el dominio) y

x^{2} \geq 0

, así que el signo de

f'

lo decide únicamente el factor

x^{2}-3

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 0 \;\text{ o }\; x = \pm\sqrt{3}

Colocando en la recta real los puntos críticos (

-\sqrt3

0

\sqrt3

) y los excluidos del dominio (

-1

1

En $\bigl(-\infty, -\sqrt3\bigr)$ : $x^{2} > 3$ , luego $f' > 0$ : creciente
En $\bigl(-\sqrt3, -1\bigr)$ y $(-1, 0)$ y $(0, 1)$ y $\bigl(1, \sqrt3\bigr)$ : $x^{2} < 3$ , luego $f' < 0$ : decreciente
En $\bigl(\sqrt3, +\infty\bigr)$ : $f' > 0$ : creciente

Extremos relativos.

f\bigl(-\sqrt3\bigr) = \frac{-3\sqrt3}{2} \approx -2{,}60 \quad \text{(máximo relativo)}

f\bigl(\sqrt3\bigr) = \frac{3\sqrt3}{2} \approx 2{,}60 \quad \text{(mínimo relativo)}

(En $x = 0$ la derivada se anula pero no cambia de signo: la función sigue decreciendo, con tangente horizontal. No es un extremo.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $f'$ se anule en $x=0$ no significa que haya un extremo: el factor $x^{2}$ es siempre positivo y no cambia el signo de la derivada. Estudia el signo, no solo las raíces; aquí la función simplemente pasa por el origen con tangente horizontal.

Y al escribir los intervalos, no olvides partir en $x = \pm 1$ : son asíntotas verticales y la función no existe ahí. Decir "decreciente en $\bigl(-\sqrt3,\sqrt3\bigr)$ " es incorrecto, aunque el signo de la derivada sea el mismo en todos esos tramos.