Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \bigl(\ln(x)\bigr)^{2}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [1,5 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función

f

y las rectas

y = 0

x = 1

x = e

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Decreciente en } (0,1), \; \text{creciente en } (1,+\infty); \quad \text{mínimo en } (1, 0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \Bigl[x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x\Bigr]_{1}^{e} = e - 2 \approx 0{,}72 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la derivada sale de la regla de la cadena y su signo lo decide solo el logaritmo, porque el

2/x

que la acompaña es positivo en todo el dominio.

En b) hay que integrar

(\ln x)^{2}

, que exige integración por partes dos veces: la primera reduce el cuadrado a un logaritmo simple y la segunda lo elimina. Es la integral clásica de este tipo y conviene tenerla ensayada.

Antes de integrar, un detalle que ahorra dudas: en

[1, e]

la función es

\geq 0

(es un cuadrado), así que el área coincide con la integral sin cambios de signo.

Desarrollo

a) Derivada. Por la regla de la cadena:

f'(x) = 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x}

Como

x > 0

en todo el dominio, el factor

\frac{2}{x}

es positivo y el signo de

f'

es el de

\ln x

En $(0, 1)$ : $\;\ln x < 0$ , luego $f' < 0$ : decreciente.
En $(1, +\infty)$ : $\;\ln x > 0$ , luego $f' > 0$ : creciente.

x = 1

hay un mínimo relativo:

f(1) = (\ln 1)^{2} = 0

(Es además el mínimo absoluto: $f$ es un cuadrado, luego $f \geq 0$ , y solo vale $0$ en $x=1$ . No hay máximo, porque $f \to +\infty$ tanto cuando $x\to 0^{+}$ como cuando $x\to+\infty$ .)

b) La región. Está limitada por la curva, el eje

OX

(

y=0

) y las verticales

x=1

x=e

. En

[1,e]

se cumple

f(x) = (\ln x)^{2} \geq 0

, así que el área es directamente la integral.

Primitiva, por partes (primera vez). Con

u = (\ln x)^{2}

dv = dx

du = \frac{2\ln x}{x}\,dx, \qquad v = x

\int (\ln x)^{2}\,dx = x\,(\ln x)^{2} - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = x\,(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx

Segunda vez. La integral del logaritmo es la conocida:

\int \ln x\,dx = x\ln x - x

\int (\ln x)^{2}\,dx = x\,(\ln x)^{2} - 2\,\bigl(x\ln x - x\bigr)

Evaluación entre $1$ y $e$ .

En

x = e

(con

\ln e = 1

e\cdot 1 - 2\,(e\cdot 1 - e) = e - 2\cdot 0 = e

x = 1

(con

\ln 1 = 0

1\cdot 0 - 2\,(0 - 1) = 0 + 2 = 2

A = e - 2 \approx 2{,}718 - 2 = 0{,}718 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\int (\ln x)^{2}dx$ necesita dos integraciones por partes, y en las dos hay que tomar $dv = dx$ . Si a la segunda cambias de criterio, vuelves atrás. Vale la pena memorizar el resultado: $x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x$ .

Para el signo de $f'$ , fíjate en que el factor $\frac{2}{x}$ es positivo en todo el dominio $(0,+\infty)$ : no hace falta incluirlo en la tabla de signos. Y no confundas $(\ln x)^{2}$ con $\ln(x^{2})$ : la segunda vale $2\ln x$ y tiene una derivada y una gráfica completamente distintas.