Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Sea

f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = e^{x}\bigl(\cos(x) + \operatorname{sen}(x)\bigr)

a) [2 puntos] Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \dfrac{3\pi}{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 2e^{x}\cos(x); \quad \text{críticos en } x = \tfrac{\pi}{2} \text{ y } x = \tfrac{3\pi}{2}\;}

\boxed{\;\text{Máximo absoluto } f(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535{,}5; \qquad \text{mínimo absoluto } f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = -e^{3\pi/2} \approx -111{,}3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Tangente: } y = -e^{3\pi/2}; \qquad \text{Normal: } x = \tfrac{3\pi}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La derivada de esta función se simplifica de forma espectacular: los términos con seno se cancelan y queda simplemente

f'(x) = 2e^{x}\cos(x)

. Merece la pena hacer el cálculo con cuidado para ver la cancelación.

Como el intervalo

[0, 2\pi]

es cerrado y acotado y

f

es continua, el teorema de Weierstrass garantiza que hay máximo y mínimo absolutos. Los candidatos son los puntos críticos y los dos extremos del intervalo; olvidar estos últimos es el fallo clásico, y aquí sería fatal porque el máximo absoluto está justo en

x = 2\pi

.

En b) ocurre algo que conviene reconocer:

x = \frac{3\pi}{2}

es un punto crítico, así que la tangente es horizontal y la normal, vertical.

Desarrollo

Derivada. Aplicando la regla del producto:

f'(x) = e^{x}\bigl(\cos x + \operatorname{sen} x\bigr) + e^{x}\bigl(-\operatorname{sen} x + \cos x\bigr)

= e^{x}\bigl(\cos x + \operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x + \cos x\bigr) = 2e^{x}\cos(x)

Puntos críticos. Como

e^{x} > 0

siempre,

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{2}

Signo de $f'$ en $[0, 2\pi]$ (el del coseno):

Creciente en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$
Decreciente en $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$
Creciente en $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$

a) Valores en todos los candidatos.

f(0) = e^{0}\,(1 + 0) = 1

f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}\,(0 + 1) = e^{\pi/2} \approx 4{,}81

f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2}\,(0 - 1) = -e^{3\pi/2} \approx -111{,}32

f(2\pi) = e^{2\pi}\,(1 + 0) = e^{2\pi} \approx 535{,}49

Conclusión.

\text{Máximo absoluto: } f(2\pi) = e^{2\pi} \approx 535{,}49 \quad \text{en } x = 2\pi

\text{Mínimo absoluto: } f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -e^{3\pi/2} \approx -111{,}32 \quad \text{en } x = \frac{3\pi}{2}

(El valor $e^{\pi/2}$ del punto crítico $x=\frac{\pi}{2}$ es solo un máximo relativo: la exponencial crece tan deprisa que el extremo del intervalo lo supera con creces.)

b) Rectas en $x = \frac{3\pi}{2}$ .

f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -e^{3\pi/2}, \qquad f'\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2e^{3\pi/2}\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0

Como la derivada se anula, la recta tangente es horizontal:

y = -e^{3\pi/2} \approx -111{,}32

Y la recta normal, perpendicular a una horizontal, es vertical:

x = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71

(No se puede aplicar aquí la fórmula $m_{N} = -1/f'$ , porque $f' = 0$ : la normal no tiene pendiente. Hay que razonarlo geométricamente.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un intervalo cerrado, los extremos del intervalo son candidatos igual que los puntos críticos. Aquí el máximo absoluto está en $x = 2\pi$ , que no anula la derivada: si solo resuelves $f'(x)=0$ te queda $e^{\pi/2} \approx 4{,}8$ como máximo, cien veces menor que el verdadero.

Y cuando la tangente sale horizontal, la normal es vertical y se escribe $x = x_{0}$ , no $y = \text{algo}$ . La fórmula $-1/f'(x_{0})$ no sirve porque implicaría dividir entre cero; hay que decirlo así, razonando la perpendicularidad.