Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 5. Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx - 1

tiene un punto crítico en

x = 2

y que la recta normal a su gráfica en el punto de abscisa

x = 1

y = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}

. Calcula

a

b

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(2) = 0; \quad m_{t} = -\tfrac{1}{1/2} = -2 \Rightarrow f'(1) = -2; \quad f(1) = \tfrac12 + \tfrac32 = 2\;}

\boxed{\;a = \frac{12}{5}, \qquad b = -\frac{49}{5}, \qquad c = \frac{52}{5}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas, tres ecuaciones. La primera condición es inmediata; la segunda hay que exprimirla, porque la palabra clave es normal, no tangente:

La normal es perpendicular a la tangente, luego sus pendientes cumplen $m_{n}\cdot m_{t} = -1$ . Con $m_{n} = \tfrac12$ resulta $f'(1) = -2$ .
La normal pasa por el punto de la gráfica, así que $f(1)$ es el valor de la recta en $x = 1$ .

Con esas tres ecuaciones se monta un sistema lineal

3\times 3

que se resuelve por reducción.

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c

Condición 1: punto crítico en $x = 2$ .

f'(2) = 12a + 4b + c = 0

Condición 2: pendiente. La normal tiene pendiente

m_{n} = \tfrac12

, luego la tangente tiene

m_{t} = -\frac{1}{m_{n}} = -2 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 3a + 2b + c = -2

Condición 3: el punto. La normal pasa por el punto de la gráfica de abscisa

x=1

f(1) = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{3}{2} = 2

a + b + c - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 3

Sistema.

\begin{cases} 12a + 4b + c = \phantom{-}0 \\ \phantom{1}3a + 2b + c = -2 \\ \phantom{12}a + \phantom{2}b + c = \phantom{-}3\end{cases}

Restando la tercera de la segunda y la segunda de la primera:

(3a + 2b + c) - (a + b + c) = -2 - 3 \;\Longrightarrow\; 2a + b = -5

(12a + 4b + c) - (3a + 2b + c) = 0 - (-2) \;\Longrightarrow\; 9a + 2b = 2

De la primera,

b = -5 - 2a

; sustituyendo:

9a + 2\,(-5 - 2a) = 2 \;\Longrightarrow\; 9a - 10 - 4a = 2 \;\Longrightarrow\; 5a = 12 \;\Longrightarrow\; a = \frac{12}{5}

b = -5 - \frac{24}{5} = -\frac{49}{5}

c = 3 - a - b = 3 - \frac{12}{5} + \frac{49}{5} = 3 + \frac{37}{5} = \frac{52}{5}

a = \frac{12}{5}, \qquad b = -\frac{49}{5}, \qquad c = \frac{52}{5}

Comprobación. Con

f(x) = \tfrac{12}{5}x^{3} - \tfrac{49}{5}x^{2} + \tfrac{52}{5}x - 1

f(1) = \frac{12 - 49 + 52}{5} - 1 = \frac{15}{5} - 1 = 2 \quad \checkmark

f'(x) = \frac{36}{5}x^{2} - \frac{98}{5}x + \frac{52}{5}

f'(1) = \frac{36 - 98 + 52}{5} = \frac{-10}{5} = -2 \quad \checkmark \qquad f'(2) = \frac{144 - 196 + 52}{5} = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La palabra normal lo cambia todo. Si tomas $f'(1) = \tfrac12$ (la pendiente de la recta que te dan) en lugar de $f'(1) = -2$ , todo el sistema queda mal aunque el método sea correcto. La relación es $m_{t} = -1/m_{n}$ .

Lo que no cambia es el punto: tangente y normal se cortan sobre la gráfica, así que $f(1)$ sí se obtiene evaluando la recta que te dan en $x=1$ .

Los resultados con denominador $5$ asustan, pero son correctos. En Selectividad no es raro que los coeficientes salgan fraccionarios: no los redondees, y comprueba las tres condiciones al final — cuesta un minuto y detecta cualquier desliz.