Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función f definida por f(x) = \frac{a\,x + b}{c\,x + 1} \qquad \text{para } c\,x + 1 \neq 0 Determina a, b y c sabiendo que la recta x = -1 es una asíntota vertical a la gráfica de f y que y = 2x + 4 es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{a\,x + b}{c\,x + 1} \qquad \text{para } c\,x + 1 \neq 0

Determina

a

b

c

sabiendo que la recta

x = -1

es una asíntota vertical a la gráfica de

f

y que

y = 2x + 4

es la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

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Resultado

\boxed{\;\text{A.V. en } x=-1 \;\Longrightarrow\; -c + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; c = 1\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{a-b}{(x+1)^{2}}; \qquad f(1) = 6 \Rightarrow a+b = 12, \qquad f'(1) = 2 \Rightarrow a-b = 8\;}

\boxed{\;a = 10, \quad b = 2, \quad c = 1 \;\Longrightarrow\; f(x) = \frac{10x+2}{x+1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas, tres condiciones, pero repartidas de forma desigual:

La asíntota vertical en $x=-1$ obliga a que el denominador se anule ahí: $-c + 1 = 0$ . Eso da $c$ de inmediato y por separado.
La tangente vale por dos: el paso por el punto ( $f(1) = 2 + 4 = 6$ ) y la igualdad de pendientes ( $f'(1) = 2$ ).

Conviene sustituir

c

antes de derivar: con

c=1

el denominador es

x+1

y la derivada queda muy simple.

Desarrollo

Condición 1: asíntota vertical en $x = -1$ . El denominador debe anularse en

x=-1

c\,(-1) + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; c = 1

f(x) = \frac{a\,x + b}{x + 1}

La derivada. Con la regla del cociente, el numerador se simplifica mucho:

f'(x) = \frac{a\,(x+1) - (ax + b)\cdot 1}{(x+1)^{2}} = \frac{ax + a - ax - b}{(x+1)^{2}} = \frac{a - b}{(x+1)^{2}}

Condición 2: la recta pasa por el punto de la gráfica en $x=1$ . La recta vale ahí

2\cdot 1 + 4 = 6

, luego

f(1) = 6

\frac{a + b}{2} = 6 \;\Longrightarrow\; a + b = 12

Condición 3: las pendientes coinciden.

f'(1) = \frac{a - b}{4} = 2 \;\Longrightarrow\; a - b = 8

Sistema.

\begin{cases} a + b = 12 \\ a - b = \phantom{1}8\end{cases} \;\Longrightarrow\; 2a = 20 \;\Longrightarrow\; a = 10, \quad b = 2

a = 10, \qquad b = 2, \qquad c = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) = \frac{10x + 2}{x + 1}

Comprobaciones.

Asíntota vertical: en $x=-1$ el denominador se anula y el numerador vale $-10+2 = -8 \neq 0$ , así que sí hay asíntota (no es una discontinuidad evitable) $\checkmark$
$f(1) = \dfrac{12}{2} = 6\;\checkmark$
$f'(x) = \dfrac{8}{(x+1)^{2}}$ , luego $f'(1) = \dfrac{8}{4} = 2\;\checkmark$

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Consejo

Extrae $c$ primero y por separado: la asíntota vertical solo depende del denominador, así que es una condición independiente que no se mezcla con las otras dos. Sustituirla antes de derivar simplifica enormemente el resto.

"Recta tangente" son dos condiciones (punto y pendiente), y el valor del punto hay que calcularlo evaluando la recta: $f(1) = 2\cdot 1 + 4 = 6$ , no $f(1) = 4$ ni $f(1)=2$ .

Detalle fino que da puntos: comprueba que en $x=-1$ el numerador no se anula. Si lo hiciera, el factor se cancelaría y no habría asíntota, sino un agujero — y la condición del enunciado no se cumpliría.