Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Julio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Halla

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos(x)\,dx = \frac{e^{\pi/2} - 1}{2} \approx 1{,}91\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la integral cíclica clásica: exponencial por trigonométrica. Por partes no "baja de grado" nada, así que hay que aplicarla dos veces hasta que reaparezca la integral de partida; entonces se despeja como si fuera una incógnita.

El truco imprescindible es mantener la coherencia: si en la primera vuelta eliges

u = e^{x}

, en la segunda también tiene que ser

u = e^{x}

. Si cambias de criterio, vuelves al punto de partida con la identidad

I = I

y no obtienes nada.

Desarrollo

Primera integración por partes. Llamemos

I = \displaystyle\int e^{x}\cos(x)\,dx

y tomemos

u = e^{x} \;\Rightarrow\; du = e^{x}dx, \qquad dv = \cos(x)dx \;\Rightarrow\; v = \operatorname{sen}(x)

I = e^{x}\operatorname{sen}(x) - \int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx

Segunda integración por partes, sobre la nueva integral y con el mismo criterio (

u = e^{x}

\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx = -e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\cos(x)\,dx = -e^{x}\cos(x) + I

Sustituimos y despejamos.

I = e^{x}\operatorname{sen}(x) - \bigl(-e^{x}\cos(x) + I\bigr) = e^{x}\operatorname{sen}(x) + e^{x}\cos(x) - I

2I = e^{x}\bigl(\operatorname{sen}(x) + \cos(x)\bigr) \;\Longrightarrow\; I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen}(x) + \cos(x)\bigr)

Comprobación de la primitiva.

\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x + \cos x\bigr)\right] = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x + \cos x\bigr) + \frac{e^{x}}{2}\bigl(\cos x - \operatorname{sen} x\bigr) = \frac{e^{x}}{2}\cdot 2\cos x = e^{x}\cos x

Regla de Barrow. Con

\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1

\cos\frac{\pi}{2} = 0

\operatorname{sen} 0 = 0

\cos 0 = 1

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x}\cos(x)\,dx = \left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\operatorname{sen} x + \cos x\bigr)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{e^{\pi/2}}{2}\bigl(1 + 0\bigr) - \frac{e^{0}}{2}\bigl(0 + 1\bigr)

= \frac{e^{\pi/2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\pi/2} - 1}{2} \approx \frac{4{,}810 - 1}{2} \approx 1{,}91

(El resultado es positivo, como debe ser: $e^{x}\cos x > 0$ en todo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mantén el mismo $u$ en las dos integraciones por partes. Si en la primera tomas $u=e^{x}$ y en la segunda $u=\operatorname{sen}(x)$ , todo se cancela y llegas a $I=I$ : cierto, pero inútil. Es el error que más veces bloquea este ejercicio.

Calcula la primitiva entera antes de aplicar Barrow, y compruébala derivando: son diez segundos y te asegura los $2{,}5$ puntos. Si trabajas con los límites metidos desde el principio, el despeje de $I$ se vuelve confuso.