Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2014 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sabiendo que

\lim_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{a}{\ln x}\right)

es finito, calcula

a

y el valor del límite (

\ln

denota el logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x}{x-1}-\frac{a}{\ln x} = \frac{x\ln x-a(x-1)}{(x-1)\ln x} \quad \left(\tfrac00\right)\;}

\boxed{\;\text{L'H 1: } \lim_{x\to1}\frac{\ln x+1-a}{\ln x+1-\frac1x}; \quad \text{denominador}\to0 \Rightarrow 1-a = 0\;}

\boxed{\;a = 1\;}

\boxed{\;\text{L'H 2: } \lim_{x\to1}\frac{1/x}{\frac1x+\frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una indeterminación del tipo

\infty-\infty

: cada sumando se dispara por separado (en

x=1

se anulan

x-1

\ln x

).

El primer paso, obligado, es poner denominador común para convertirla en

\frac00

y poder aplicar L'Hôpital.

Después, la condición de que el límite sea finito obliga —igual que en otros enunciados parecidos— a que el numerador se anule cuando el denominador lo hace. Eso da

a

; y una segunda aplicación de L'Hôpital da el valor.

Desarrollo

Denominador común.

\frac{x}{x-1}-\frac{a}{\ln x} = \frac{x\ln x-a\,(x-1)}{(x-1)\ln x}

x=1

: el numerador vale

1\cdot0-a\cdot0 = 0

y el denominador

0\cdot0 = 0

. Indeterminación

\frac00

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

\text{Numerador}' = \ln x+x\cdot\frac1x-a = \ln x+1-a

\text{Denominador}' = \ln x+(x-1)\cdot\frac1x = \ln x+1-\frac1x

\lim_{x\to1}\frac{\ln x+1-a}{\ln x+1-\frac1x}

El denominador tiende a $0$ (

0+1-1 = 0

). Para que el límite sea finito, el numerador también:

0+1-a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Segunda aplicación de L'Hôpital. Con

a=1

seguimos en

\frac00

\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\ln x+1-\frac1x} = \lim_{x\to1}\frac{\frac1x}{\frac1x+\frac{1}{x^{2}}}

Sustituyendo $x=1$ :

\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

a = 1, \qquad \lim_{x\to1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right) = \frac{1}{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Ante $\infty-\infty$ , lo primero es unir en una sola fracción. L'Hôpital solo se aplica a $\frac00$ o $\frac\infty\infty$ ; usarlo antes de operar es un error grave.

La condición de "límite finito" se aplica después de la primera derivada: el denominador $\ln x+1-\frac1x$ tiende a $0$ , luego el numerador debe hacerlo. De ahí sale $a=1$ .

Cuidado al derivar el denominador $(x-1)\ln x$ : es un producto, y su derivada es $\ln x+\frac{x-1}{x}$ . Tratarlo como una suma es el fallo más frecuente.