Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Calcula

a

b

c

d

sabiendo que la gráfica de la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

tiene un punto de inflexión en

(0, 4)

y su recta normal en el punto

(1, 8)

es paralela al eje de ordenadas.

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Resultado

\boxed{\;f''(0) = 0, \quad f(0) = 4, \quad f'(1) = 0, \quad f(1) = 8\;}

\boxed{\;a = -2, \quad b = 0, \quad c = 6, \quad d = 4 \;\Longrightarrow\; f(x) = -2x^{3} + 6x + 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro incógnitas exigen cuatro ecuaciones, y hay que extraerlas con cuidado porque cada frase esconde dos:

"Tiene un punto de inflexión en $(0,4)$ " $\Longrightarrow$ la gráfica pasa por $(0,4)$ y $f''(0) = 0$ .
"Su recta normal en el punto $(1,8)$ ..." $\Longrightarrow$ la gráfica pasa por $(1,8)$ , y además la condición sobre la normal.

Y el detalle decisivo: normal paralela al eje de ordenadas significa normal vertical, y una normal vertical implica que la tangente es horizontal, es decir

f'(1) = 0

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c, \qquad f''(x) = 6ax + 2b

Condición 1: punto de inflexión en $x = 0$ .

f''(0) = 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

Condición 2: la gráfica pasa por $(0,4)$ .

f(0) = d = 4

Condición 3: normal vertical en $(1,8)$ . La recta normal es paralela al eje de ordenadas, es decir, vertical. Como la tangente es perpendicular a la normal, la tangente es horizontal:

f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \;\Longrightarrow\; 3a + c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -3a

Condición 4: la gráfica pasa por $(1,8)$ .

f(1) = a + b + c + d = 8 \;\Longrightarrow\; a + 0 + c + 4 = 8 \;\Longrightarrow\; a + c = 4

Resolución. Sustituyendo

c = -3a

a - 3a = 4 \;\Longrightarrow\; -2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = -2, \qquad c = 6

a = -2, \qquad b = 0, \qquad c = 6, \qquad d = 4

La función es

\;f(x) = -2x^{3} + 6x + 4

.

Comprobación.

f(0) = 4 \quad \checkmark \qquad f(1) = -2 + 6 + 4 = 8 \quad \checkmark

f'(x) = -6x^{2} + 6 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \quad \checkmark

f''(x) = -12x \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0 \quad \checkmark

y además

f''

cambia de signo en

x = 0

(positiva a la izquierda, negativa a la derecha), así que es un punto de inflexión de verdad, no solo un cero de la segunda derivada.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Normal paralela al eje de ordenadas" es normal vertical, y por tanto tangente horizontal: la condición es $f'(1) = 0$ . Es el punto en el que se decide el ejercicio, y el error clásico es escribir $f'(1) = \infty$ o intentar usar la pendiente de la normal (que no existe, porque una recta vertical no tiene pendiente).

Cada frase del enunciado da dos ecuaciones: el paso por el punto y la condición geométrica. Con cuatro incógnitas necesitas las cuatro, así que no descartes los datos que parecen redundantes ("pasa por $(0,4)$ " y "pasa por $(1,8)$ " son dos de ellas).