Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{\pi/4}\frac{x}{\cos^{2}x}\,dx \qquad (\text{Sugerencia: integración por partes})

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = x, \quad dv = \frac{dx}{\cos^{2}x} \;\Longrightarrow\; v = \mathrm{tg}\,x\;}

\boxed{\;\int\frac{x}{\cos^{2}x}dx = x\,\mathrm{tg}\,x-\int\mathrm{tg}\,x\,dx = x\,\mathrm{tg}\,x+\ln\lvert\cos x\rvert\;}

\boxed{\;\left[x\,\mathrm{tg}\,x+\ln\lvert\cos x\rvert\right]_{0}^{\pi/4} = \left(\frac\pi4+\ln\frac{\sqrt2}{2}\right)-0\;}

\boxed{\;= \frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}44\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración por partes con la elección natural:

u = x \qquad dv = \frac{dx}{\cos^{2}x}

Hay que reconocer dos primitivas de memoria:

\int\frac{dx}{\cos^{2}x} = \mathrm{tg}\,x \qquad \int \mathrm{tg}\,x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert

La segunda sale del cambio

\cos x = w

\;\int\frac{\mathrm{sen}\,x}{\cos x}dx = -\ln\lvert\cos x\rvert

.

Y al evaluar hay que recordar

\mathrm{tg}\frac{\pi}{4} = 1

\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}

Desarrollo

Integración por partes.

u = x \;\Longrightarrow\; du = dx \qquad dv = \frac{dx}{\cos^{2}x} \;\Longrightarrow\; v = \mathrm{tg}\,x

\int\frac{x}{\cos^{2}x}\,dx = x\,\mathrm{tg}\,x-\int \mathrm{tg}\,x\,dx

La integral de la tangente. Con

w = \cos x

\;dw = -\mathrm{sen}\,x\,dx

\int \mathrm{tg}\,x\,dx = \int\frac{\mathrm{sen}\,x}{\cos x}\,dx = -\int\frac{dw}{w} = -\ln\lvert w\rvert = -\ln\lvert\cos x\rvert

La primitiva.

F(x) = x\,\mathrm{tg}\,x+\ln\lvert\cos x\rvert

Regla de Barrow. En

x = \dfrac{\pi}{4}

, con

\mathrm{tg}\frac\pi4 = 1

\cos\frac\pi4 = \frac{\sqrt2}{2} = 2^{-1/2}

F\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}\cdot 1+\ln\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\pi}{4}+\ln 2^{-1/2} = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}

x = 0

, con

\mathrm{tg}\,0 = 0

\cos 0 = 1

F(0) = 0+\ln 1 = 0

El resultado.

\int_{0}^{\pi/4}\frac{x}{\cos^{2}x}\,dx = \frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2} \approx 0{,}785-0{,}347 = 0{,}439

Comprobación (derivando la primitiva).

F'(x) = \mathrm{tg}\,x+\frac{x}{\cos^{2}x}+\frac{-\mathrm{sen}\,x}{\cos x} = \mathrm{tg}\,x+\frac{x}{\cos^{2}x}-\mathrm{tg}\,x = \frac{x}{\cos^{2}x} \quad \checkmark

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Consejo

$\displaystyle\int\frac{dx}{\cos^{2}x} = \mathrm{tg}\,x$ es una primitiva inmediata que hay que tener memorizada; es lo que hace que $dv = \frac{dx}{\cos^{2}x}$ sea la elección correcta.

$\int\mathrm{tg}\,x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert$ , con signo menos. Al restarla en la fórmula de partes se convierte en $+\ln\lvert\cos x\rvert$ : los dos signos se compensan, y perder uno cambia el resultado.

Simplifica $\ln\frac{\sqrt2}{2} = \ln 2^{-1/2} = -\frac{\ln2}{2}$ . Dejarlo sin simplificar es correcto pero dificulta comparar con la solución oficial.