Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas

y = 4x, \qquad y = 8-4x

y la curva

\;y = 2x-x^{2}

.

a) [0,5 puntos] Realiza un esbozo de dicho recinto.

b) [2 puntos] Calcula su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;4x = 8-4x \Rightarrow x = 1; \quad 4x = 2x-x^{2} \Rightarrow x = 0; \quad 8-4x = 2x-x^{2} \Rightarrow x = 2\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{1}\bigl(2x+x^{2}\bigr)dx+\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-6x+8\bigr)dx\;}

\boxed{\;= \frac43+\frac43\;}

\boxed{\;A = \frac83 \approx 2{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que localizar todos los cortes entre las tres curvas y quedarse con los que caen en el primer cuadrante:

4x = 8-4x \;\Longrightarrow\; x = 1 \qquad 4x = 2x-x^{2} \;\Longrightarrow\; x = 0 \ \text{o} \ x = -2

8-4x = 2x-x^{2} \;\Longrightarrow\; x = 2 \ \text{o} \ x = 4

En el primer cuadrante los vértices relevantes son

x=0

x=1

(corte de las dos rectas) y

x=2

(donde la recta descendente y la parábola se encuentran sobre el eje

OX

).

El recinto está limitado por arriba por las dos rectas (que se cruzan en

x=1

) y por abajo por la parábola. Hay que partir la integral en

x=1

Desarrollo

a) El recinto. La recta

y=4x

sube desde el origen; la recta

y = 8-4x

baja y corta a la anterior en

(1,4)

. La parábola

y = 2x-x^{2}

tiene ceros en

x=0

x=2

y vértice

(1,1)

.

En el primer cuadrante, el recinto está limitado:

por arriba, por $y=4x$ en $[0,1]$ y por $y=8-4x$ en $[1,2]$ ,
por abajo, por la parábola $y = 2x-x^{2}$ en todo $[0,2]$ .

(En $x=0$ y $x=2$ las tres se encuentran sobre el eje $OX$ : la parábola y la recta correspondiente valen $0$ .)

b) El área. Dos tramos:

A = \int_{0}^{1}\Bigl[4x-\bigl(2x-x^{2}\bigr)\Bigr]dx+\int_{1}^{2}\Bigl[\bigl(8-4x\bigr)-\bigl(2x-x^{2}\bigr)\Bigr]dx

Primer tramo.

\int_{0}^{1}\bigl(2x+x^{2}\bigr)dx = \left[x^{2}+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1+\frac13 = \frac43

Segundo tramo.

\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-6x+8\bigr)dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}+8x\right]_{1}^{2}

= \left(\frac83-12+16\right)-\left(\frac13-3+8\right) = \frac{20}{3}-\frac{16}{3} = \frac43

El área total.

A = \frac43+\frac43 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \ \text{u}^{2}

(Los dos tramos salen iguales: el recinto es simétrico respecto de la recta $x=1$ , porque las dos rectas y la parábola lo son.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Calcula los tres pares de cortes y quédate con los que caen en el primer cuadrante: las soluciones $x=-2$ y $x=4$ están fuera y hay que descartarlas justificándolo.

El borde superior cambia en $x=1$ (de una recta a la otra), así que hacen falta dos integrales. Es el punto donde se decide el ejercicio.

Aprovecha la simetría respecto de $x=1$ : los dos tramos dan lo mismo, así que puedes calcular uno y duplicar (y usarlo como comprobación si los calculas los dos).