Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 1. Sabiendo que

\lim_{x \to 0}\frac{x\,e^{x} - \ln(1 + x) - (a+1)\,x}{x^{2}}

es finito, calcula

a

y el valor del límite (

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;N(x) = -(a+1)\,x + \frac{3}{2}x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)\;}

\boxed{\;a = -1 \quad \text{(para que el límite sea finito)}, \qquad \text{y el límite vale } \frac{3}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado dice "es finito", y esa frase es la ecuación que despeja

a

. El denominador es

x^{2}

, un infinitésimo de orden

2

; para que el cociente tenga límite finito, el numerador debe ser también de orden

\geq 2

, es decir, su coeficiente de $x$ debe anularse.

Una vez fijado

a

, el coeficiente de

x^{2}

da directamente el valor del límite.

Bastan los desarrollos hasta orden

2

: lo demás va dentro del

O(x^{3})

y no influye.

Desarrollo

Desarrollos en torno a $x = 0$ .

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \cdots \;\Longrightarrow\; x\,e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + \cdots

\ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots

Numerador.

N(x) = \left(x + x^{2}\right) - \left(x - \frac{x^{2}}{2}\right) - (a+1)\,x + O\!\left(x^{3}\right)

= x + x^{2} - x + \frac{x^{2}}{2} - (a+1)x + O\!\left(x^{3}\right)

N(x) = -(a+1)\,x + \frac{3}{2}\,x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Primera condición: que el límite sea finito. Si

a + 1 \neq 0

, el numerador sería de orden

1

y el cociente se comportaría como

\dfrac{-(a+1)x}{x^{2}} \to \pm\infty

. Para que exista límite finito:

a + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -1

Segunda condición: el valor del límite. Con

a = -1

\lim_{x\to 0}\frac{\frac{3}{2}x^{2} + O(x^{3})}{x^{2}} = \frac{3}{2}

Comprobación con L'Hôpital. Con

a = -1

el límite es

\lim_{x\to 0}\frac{x\,e^{x} - \ln(1+x)}{x^{2}}

Numerador y denominador se anulan en

0

. Primera aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x} + x\,e^{x} - \dfrac{1}{1+x}}{2x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

(numerador:

1 + 0 - 1 = 0

). Segunda aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{2e^{x} + x\,e^{x} + \dfrac{1}{(1+x)^{2}}}{2} = \frac{2 + 0 + 1}{2} = \frac{3}{2} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Sabiendo que es finito" no es un comentario del enunciado: es la condición que despeja el parámetro. Compara el orden del numerador con el del denominador y anula el coeficiente que sobra.

Con Taylor basta desarrollar hasta el orden del denominador. Aquí, hasta $x^{2}$ : los términos de orden $3$ y superiores no afectan al límite y desarrollarlos solo añade ocasiones de equivocarse.