Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función dada por

f(x) = a\,x^{3}+b\,x^{2}+c\,x+d

. Halla los coeficientes

a

b

c

d

sabiendo que

f

presenta un extremo local en el punto de abscisa

x = 0

, que

(1,0)

es punto de inflexión de la gráfica de

f

y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es

-3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(0)=0 \Rightarrow c = 0; \qquad f''(1)=0 \Rightarrow b = -3a\;}

\boxed{\;f'(1) = -3a = -3 \Rightarrow a = 1,\ b = -3; \qquad f(1)=0 \Rightarrow d = 2\;}

\boxed{\;f(x) = x^{3}-3x^{2}+2 \quad (\text{máximo relativo en } (0,2))\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro incógnitas

\Rightarrow

cuatro condiciones. El enunciado las da todas, aunque hay que leerlo con cuidado:

Extremo local en $x=0$ : $\;f'(0) = 0$ .
$(1,0)$ es punto de inflexión: dos datos, $\;f''(1) = 0\;$ y $\;f(1) = 0$ .
Pendiente de la tangente en dicho punto (es decir, en $x=1$ ): $\;f'(1) = -3$ .

Como cada condición involucra pocas incógnitas, se resuelven en cadena sin montar ningún sistema grande.

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d

f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6a x+2b

1) Extremo local en $x=0$ : $f'(0)=0$ .

c = 0

2) Inflexión en $x=1$ : $f''(1)=0$ .

6a+2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -3a

3) Pendiente $-3$ en $x=1$ : $f'(1) = -3$ . Con

c=0

b=-3a

3a+2b+c = 3a-6a = -3a = -3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \;\Longrightarrow\; b = -3

4) Pasa por $(1,0)$ : $f(1) = 0$ .

a+b+c+d = 1-3+0+d = d-2 = 0 \;\Longrightarrow\; d = 2

a = 1, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = x^{3}-3x^{2}+2

Comprobación.

f'(x) = 3x^{2}-6x \;\Longrightarrow\; f'(0) = 0 \;\checkmark \qquad f'(1) = 3-6 = -3 \;\checkmark

f''(x) = 6x-6 \;\Longrightarrow\; f''(1) = 0 \;\checkmark \qquad f(1) = 1-3+2 = 0 \;\checkmark

¿Es de verdad extremo en $x=0$ ?

\;f''(0) = -6 < 0

: sí, y además es un máximo relativo, con

f(0)=2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"El punto $(1,0)$ es punto de inflexión" son dos condiciones: $f''(1)=0$ y $f(1)=0$ . Con cuatro incógnitas necesitas las cuatro ecuaciones; si te quedas en tres, el problema parece indeterminado.

"En dicho punto" se refiere al punto de inflexión, no al extremo. Aplicar $f'=-3$ en $x=0$ es el error clásico de este enunciado y arrastra todo el resultado.

Ordena las condiciones de menos a más incógnitas: $f'(0)$ da $c$ , $f''(1)$ relaciona $a$ y $b$ , $f'(1)$ cierra $a$ y $f(1)$ da $d$ . Así no hace falta resolver ningún sistema.