Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = x\,e^{x}

.

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

y las rectas

x = 2

y = x

.

b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Curva y recta se cortan solo en } (0,0); \; \text{la curva queda por encima en } (0,2]\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{0}^{2}\bigl(xe^{x} - x\bigr)dx = \Bigl[(x-1)e^{x} - \tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = e^{2} - 1 \approx 6{,}39 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El recinto está limitado por tres cosas: la curva

y = xe^{x}

, la recta

y = x

y la vertical

x = 2

. Para dibujarlo hay que saber dónde se cortan la curva y la recta, que es lo que fija el extremo izquierdo:

x\,e^{x} = x \;\Longleftrightarrow\; x\bigl(e^{x} - 1\bigr) = 0

En el dominio

[0,+\infty)

la única solución es

x = 0

, y a partir de ahí la curva queda por encima de la recta (porque

e^{x} > 1

para

x > 0

).

Para el área hay que integrar

xe^{x}

, que se hace por partes.

Desarrollo

a) Puntos de corte de la curva y la recta.

x\,e^{x} = x \;\Longrightarrow\; x\bigl(e^{x} - 1\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{ o }\; e^{x} = 1 \;\Longrightarrow\; x = 0

[0,+\infty)

la única intersección es el origen

(0,0)

.

Posición relativa. Para

x > 0

se cumple

e^{x} > 1

, luego

x\,e^{x} > x

la curva está por encima de la recta en todo

(0, 2]

.

Esbozo. La curva

y = xe^{x}

arranca en el origen con pendiente

f'(0) = 1

(la misma que la recta

y=x

: son tangentes ahí) y luego se dispara, llegando a

f(2) = 2e^{2} \approx 14{,}78

. La recta

y = x

crece mucho más despacio, hasta

y = 2

. El recinto es la región comprendida entre ambas, cerrada por la derecha por la vertical

x = 2

: una especie de "cuerno" que se abre desde el origen.

b) Área.

A = \int_{0}^{2}\bigl(x\,e^{x} - x\bigr)dx = \int_{0}^{2} x\,e^{x}\,dx - \int_{0}^{2} x\,dx

La primera integral, por partes. Con

u = x

(

du = dx

) y

dv = e^{x}dx

(

v = e^{x}

\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} = (x - 1)\,e^{x}

Evaluación conjunta.

A = \left[(x-1)e^{x} - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}

x = 2

\;(2-1)e^{2} - 2 = e^{2} - 2

x = 0

\;(0-1)e^{0} - 0 = -1

A = \bigl(e^{2} - 2\bigr) - (-1) = e^{2} - 1

A = e^{2} - 1 \approx 7{,}389 - 1 = 6{,}39 \ \text{unidades cuadradas}

(Control de magnitud: el recinto está contenido en el rectángulo $[0,2]\times[0, 2e^{2}]$ , de área $\approx 29{,}6$ , y es claramente menor que la mitad. El valor $6{,}39$ es razonable.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para hallar el corte, saca factor común $x$ en lugar de dividir entre $x$ : si divides, pierdes la solución $x=0$ , que es precisamente la que fija el extremo izquierdo del recinto. Es el error que deja el problema sin límite inferior de integración.

Y no te olvides del $-\frac{x^{2}}{2}$ al evaluar en $x=0$ : allí $(x-1)e^{x}$ vale $-1$ , no $0$ . Restar un valor negativo es donde más veces se pierde un signo en este tipo de integral.