Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 2. Determina la función

f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto

(0, 1)

f'(0) = 0

f''(x) = \frac{1}{x + 1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \ln(x+1)\;}

\boxed{\;f(x) = (x+1)\ln(x+1) - x + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de integración en dos pasos: se conoce

f''

y hay que llegar a

f

, integrando dos veces. Cada integración deja una constante, y cada dato la fija:

$f'(0) = 0$ determina la constante de la primera integración.
$f(0) = 1$ determina la de la segunda.

El orden importa: si se guardan las dos constantes hasta el final, el sistema que sale es innecesariamente enredado.

La segunda integral es

\int\ln(x+1)\,dx

, que se hace por partes (o con el cambio

u = x+1

, reduciéndola a

\int\ln u\,du

Desarrollo

Primera integración: de $f''$ a $f'$ .

f'(x) = \int \frac{dx}{x+1} = \ln|x+1| + C_{1}

Como el dominio es

(-1, +\infty)

, se cumple

x + 1 > 0

y el valor absoluto sobra:

f'(x) = \ln(x+1) + C_{1}

Constante con $f'(0) = 0$ .

f'(0) = \ln 1 + C_{1} = 0 + C_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = 0

f'(x) = \ln(x+1)

Segunda integración: de $f'$ a $f$ . Con el cambio

u = x+1

(

du = dx

), la integral se reduce a la conocida

\int\ln u\,du = u\ln u - u

f(x) = \int \ln(x+1)\,dx = (x+1)\ln(x+1) - (x+1) + C_{2}

Constante con $f(0) = 1$ .

f(0) = 1\cdot\ln 1 - 1 + C_{2} = -1 + C_{2} = 1 \;\Longrightarrow\; C_{2} = 2

f(x) = (x+1)\ln(x+1) - (x+1) + 2 = (x+1)\ln(x+1) - x + 1

Comprobación. Derivando:

f'(x) = \ln(x+1) + (x+1)\cdot\frac{1}{x+1} - 1 = \ln(x+1) + 1 - 1 = \ln(x+1) \quad \checkmark

f''(x) = \frac{1}{x+1} \quad \checkmark

y los datos:

f(0) = 1\cdot 0 - 0 + 1 = 1\;\checkmark

f'(0) = \ln 1 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Usa cada dato en su momento: $f'(0) = 0$ fija la constante de la primera integración y $f(0) = 1$ la de la segunda. Arrastrar $C_{1}$ y $C_{2}$ hasta el final obliga a resolver un sistema que no hace ninguna falta.

Y aprovecha el dominio: en $(-1,+\infty)$ se tiene $x+1 > 0$ , así que $\ln|x+1| = \ln(x+1)$ y puedes quitar las barras justificándolo. Es un detalle pequeño que los criterios de corrección valoran como "expresión correcta".