Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función dada por

f(x) = \begin{cases} -x^{2} + 6x - 8 & \text{si } x \leq 4 \\[4pt] \phantom{-}x^{2} - 6x + 8 & \text{si } x > 4\end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de

f

y la recta

y = 2x - 4

. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de

f

y la recta.

b) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Rama } x\leq 4: (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow (2,0) \text{ (tangencia)}; \quad \text{rama } x>4: (6,8)\;}

\boxed{\;\text{La recta queda por encima en todo } [2,6]\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{2}^{4}(x-2)^{2}dx + \int_{4}^{6}\bigl[-(x-2)(x-6)\bigr]dx = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = 8\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función a trozos: hay que buscar los cortes rama por rama, comprobando después que cada solución cae en el intervalo que le corresponde.

Y como el recinto atraviesa el punto de empalme

x = 4

, la integral del apartado b) hay que partirla en dos: de

2

4

con la primera rama y de

4

6

con la segunda.

Un detalle bonito del enunciado: en el corte de la izquierda la recta resulta ser tangente a la parábola (raíz doble), así que el recinto se cierra "en punta".

Desarrollo

a) Cortes con la rama $x \leq 4$ .

-x^{2} + 6x - 8 = 2x - 4 \;\Longrightarrow\; -x^{2} + 4x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 4x + 4 = 0

(x - 2)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \ \text{(doble)}

Cumple

x\leq 4

. El punto es

(2,\, 0)

, y la raíz doble indica que ahí la recta es tangente a la parábola.

Cortes con la rama $x > 4$ .

x^{2} - 6x + 8 = 2x - 4 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 8x + 12 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)(x-6) = 0

De las dos raíces, solo

x = 6

cumple

x > 4

. El punto es

(6,\, 8)

\text{Cortes: } (2,\, 0) \quad \text{y} \quad (6,\, 8)

El recinto. La primera rama es una parábola hacia abajo con vértice en

(3,1)

y ceros en

x=2

x=4

; la segunda es la misma parábola reflejada respecto del eje

OX

(abre hacia arriba), también con ceros en

x=2

x=4

, aunque solo se usa para

x>4

, donde es positiva y creciente. Ambas valen

0

x=4

, así que

f

es continua ahí. La recta pasa por

(2,0)

(6,8)

.

Comprobemos quién va arriba con las diferencias, ya factorizadas:

\bigl(-x^{2}+6x-8\bigr) - (2x-4) = -(x-2)^{2} \leq 0 \qquad \text{en } [2,4]

\bigl(x^{2}-6x+8\bigr) - (2x-4) = (x-2)(x-6) \leq 0 \qquad \text{en } [4,6]

En los dos tramos la recta está por encima de

f

. El recinto va de

x=2

(donde se tocan tangencialmente) a

x=6

.

b) Área. Se integra recta

-

función, partiendo en

x=4

A = \int_{2}^{4}(x-2)^{2}\,dx + \int_{4}^{6}\bigl[-(x-2)(x-6)\bigr]dx

Primer tramo:

\int_{2}^{4}(x-2)^{2}dx = \left[\frac{(x-2)^{3}}{3}\right]_{2}^{4} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}

Segundo tramo:

\int_{4}^{6}\bigl(-x^{2} + 8x - 12\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} + 4x^{2} - 12x\right]_{4}^{6}

= \bigl(-72 + 144 - 72\bigr) - \left(-\frac{64}{3} + 64 - 48\right) = 0 - \left(16 - \frac{64}{3}\right) = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3}

Total.

A = \frac{8}{3} + \frac{16}{3} = \frac{24}{3} = 8 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con una función a trozos, resuelve cada corte con su rama y verifica que la solución pertenece al intervalo de esa rama. Aquí $x=2$ aparece en las dos ecuaciones, pero solo es válida en la primera; aceptarla también en la segunda daría un corte inexistente.

La integral hay que partirla en $x=4$ , aunque la función sea continua ahí: la fórmula cambia, y una única integral con una sola expresión daría un resultado erróneo.

Y no te asustes con la raíz doble en $x=2$ : significa que la recta es tangente a la parábola en ese punto. El recinto sigue existiendo (se cierra en punta) y el área se calcula igual.