Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)e^{x}

.

a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

.

b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(x) = e^{x}(x+1)^{2} \geq 0: \ f \text{ es creciente en todo } \mathbb{R} \ \text{(sin intervalos de decrecimiento)}\;}

\boxed{\;\text{b) Convexa en } (-\infty,-3)\cup(-1,+\infty); \ \text{cóncava en } (-3,-1)\;}

\boxed{\;\text{Inflexión en } \left(-3,\ \tfrac{10}{e^{3}}\right) \ \text{y} \ \left(-1,\ \tfrac{2}{e}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al derivar, la exponencial sale como factor común y lo que queda es un polinomio. Aquí ocurre algo bonito: en la primera derivada ese polinomio es un cuadrado perfecto, así que nunca es negativo y la función no decrece en ningún punto. Hay que darse cuenta y decirlo con esas palabras: es una respuesta corta pero completa.

En b) el mismo procedimiento (derivar, sacar

e^{x}

, estudiar el signo del polinomio) da un producto de dos factores lineales, con dos cambios de signo y por tanto dos puntos de inflexión. Ojo: uno de ellos es

x=-1

, el mismo punto donde

f'

se anulaba sin cambiar de signo.

Desarrollo

a) Primera derivada. Regla del producto:

f'(x) = 2x\,e^{x} + \bigl(x^{2}+1\bigr)e^{x} = e^{x}\bigl(x^{2} + 2x + 1\bigr) = e^{x}(x+1)^{2}

Como

e^{x} > 0

(x+1)^{2} \geq 0

para todo

x

f'(x) \geq 0 \quad\text{para todo } x \in \mathbb{R}, \qquad\text{y } f'(x) = 0 \text{ solo en } x = -1

Por tanto $f$ es creciente en todo $\mathbb{R}$ y no hay ningún intervalo de decrecimiento. En

x=-1

la derivada se anula pero no cambia de signo, así que ahí no hay extremo relativo: es un punto de tangente horizontal en medio de una subida.

b) Segunda derivada.

f''(x) = e^{x}(x+1)^{2} + e^{x}\cdot 2(x+1) = e^{x}(x+1)\bigl[(x+1) + 2\bigr] = e^{x}(x+1)(x+3)

De nuevo

e^{x}>0

, así que el signo lo deciden los factores

(x+1)

(x+3)

, que se anulan en

x=-1

x=-3

\begin{array}{c|c|c|c} x & (-\infty,\ -3) & (-3,\ -1) & (-1,\ +\infty) \\ \hline (x+3) & - & + & + \\ \hline (x+1) & - & - & + \\ \hline f''(x) & + & - & + \\ \hline f(x) & \text{convexa } (\cup) & \text{cóncava } (\cap) & \text{convexa } (\cup) \end{array}

Es decir,

f

es convexa (

f''>0

, forma de

\cup

) en

(-\infty,-3)

y en

(-1,+\infty)

, y cóncava (

f''<0

, forma de

\cap

) en

(-3,-1)

.

Puntos de inflexión. En

x=-3

x=-1

la segunda derivada se anula y cambia de signo, luego ambos son puntos de inflexión. Sus ordenadas:

f(-3) = \bigl(9+1\bigr)e^{-3} = \frac{10}{e^{3}} \approx 0{,}50

f(-1) = \bigl(1+1\bigr)e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}74

\text{Puntos de inflexión: } \left(-3,\ \frac{10}{e^{3}}\right) \quad\text{y}\quad \left(-1,\ \frac{2}{e}\right)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $f'(-1) = 0$ no implica que haya máximo o mínimo: hay que comprobar el cambio de signo, y aquí no lo hay porque el factor está al cuadrado. Decir "hay un extremo en $x=-1$ " es el error más habitual de este ejercicio.

Y factoriza $f''$ sacando $e^{x}$ y $(x+1)$ como factores comunes: si desarrollas el polinomio, $x^{2}+4x+3$ hay que volver a factorizarlo para estudiar el signo. Recuerda también el convenio: $f''>0$ es convexa ( $\cup$ ) y $f''<0$ cóncava ( $\cap$ ); si lo dejas escrito con el dibujito $\cup/\cap$ , la respuesta queda inequívoca.