Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int e^{2x}\,\mathrm{sen}\,(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;I = \int e^{2x}\mathrm{sen}\,x\,dx = -e^{2x}\cos x+2\int e^{2x}\cos x\,dx\;}

\boxed{\;\int e^{2x}\cos x\,dx = e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x-2I\;}

\boxed{\;I = -e^{2x}\cos x+2e^{2x}\mathrm{sen}\,x-4I \;\Longrightarrow\; 5I = e^{2x}\bigl(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr)\;}

\boxed{\;\int e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = \frac{e^{2x}\bigl(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr)}{5}+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es la integral cíclica por excelencia: producto de exponencial por trigonométrica.

Se integra por partes dos veces, y al segundo paso reaparece la integral original. En lugar de seguir eternamente, se despeja como si fuera una incógnita:

I = \cdots-k\,I \;\Longrightarrow\; I\,(1+k) = \cdots

Lo importante es mantener el mismo criterio en las dos aplicaciones (si la primera vez pones

u = e^{2x}

, la segunda también); si lo cambias, vuelves al punto de partida con

I = I

y no obtienes nada.

Desarrollo

Llamemos

I = \int e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx

Primera integración por partes.

u = e^{2x} \;\Rightarrow\; du = 2e^{2x}dx \qquad dv = \mathrm{sen}\,x\,dx \;\Rightarrow\; v = -\cos x

I = -e^{2x}\cos x+2\int e^{2x}\cos x\,dx

Segunda integración por partes (con el mismo criterio: la exponencial en

u

u = e^{2x} \;\Rightarrow\; du = 2e^{2x}dx \qquad dv = \cos x\,dx \;\Rightarrow\; v = \mathrm{sen}\,x

\int e^{2x}\cos x\,dx = e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x-2\int e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x-2I

Sustituyendo.

I = -e^{2x}\cos x+2\Bigl[e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x-2I\Bigr] = -e^{2x}\cos x+2e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x-4I

Despejando $I$ .

I+4I = e^{2x}\bigl(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr) \;\Longrightarrow\; 5I = e^{2x}\bigl(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr)

\int e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x\,dx = \frac{e^{2x}\bigl(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x\bigr)}{5}+C

Comprobación (derivando).

\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{2x}(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x)}{5}\right] = \frac{2e^{2x}(2\,\mathrm{sen}\,x-\cos x)+e^{2x}(2\cos x+\mathrm{sen}\,x)}{5}

= \frac{e^{2x}\bigl(4\,\mathrm{sen}\,x-2\cos x+2\cos x+\mathrm{sen}\,x\bigr)}{5} = \frac{5\,e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x}{5} = e^{2x}\,\mathrm{sen}\,x \quad \checkmark

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Consejo

Es una integral cíclica: no se resuelve "hasta el final", se despeja. Ponle nombre ( $I$ ) desde el principio; así el despeje final es una simple ecuación de primer grado.

Mantén el mismo criterio en las dos integraciones por partes. Si la segunda vez cambias y pones la trigonométrica en $u$ , deshaces lo hecho y llegas a la identidad trivial $I = I$ .

No olvides la constante al final: aparece al despejar, y muchos la pierden por el camino. Y comprueba derivando: es rápido y detecta cualquier fallo de signo.