Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener

16

metros cuadrados.

Puerta: rectángulo de base x y altura h coronado por un semicírculo de diámetro x

Si es posible, determina la base

x

para que el perímetro sea mínimo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Área: } x\,h + \frac{\pi x^{2}}{8} = 16 \;\Longrightarrow\; h = \frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8}\;}

\boxed{\;P(x) = x + 2h + \frac{\pi x}{2} = \left(1+\frac{\pi}{4}\right)x + \frac{32}{x}\;}

\boxed{\;P'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{\frac{128}{4+\pi}} \approx 4{,}23 \ \text{m} \quad (\text{con } h = \tfrac{x}{2} \approx 2{,}12)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización con restricción de área. Hay que traducir con cuidado la figura:

El hueco (el área) es el rectángulo $x\,h$ más el semicírculo de radio $\tfrac{x}{2}$ :

A = x\,h + \frac{\pi}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2} = x\,h + \frac{\pi x^{2}}{8} = 16

El perímetro (el contorno) es la base $x$ , los dos lados verticales $h$ y la semicircunferencia $\tfrac{\pi x}{2}$ . El segmento discontinuo de la figura no forma parte del contorno.

Se despeja

h

de la restricción, se sustituye en el perímetro y se minimiza.

Desarrollo

Restricción de área.

x\,h + \frac{\pi x^{2}}{8} = 16 \;\Longrightarrow\; h = \frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8}

Función objetivo: el perímetro.

P = x + 2h + \frac{\pi x}{2} = x + 2\left(\frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8}\right) + \frac{\pi x}{2}

= x + \frac{32}{x} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2} = x + \frac{32}{x} + \frac{\pi x}{4}

P(x) = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right)x + \frac{32}{x}

Derivada y punto crítico.

P'(x) = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{32}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = \frac{32}{1 + \frac{\pi}{4}} = \frac{128}{4 + \pi}

x = \sqrt{\frac{128}{4+\pi}} = \frac{8\sqrt2}{\sqrt{4+\pi}} \approx 4{,}23 \ \text{m}

Es mínimo.

P''(x) = \frac{64}{x^{3}} > 0 \quad \text{para } x > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

La altura correspondiente.

h = \frac{16}{x} - \frac{\pi x}{8}

Usando

x^{2} = \dfrac{128}{4+\pi}

, es decir

\dfrac{16}{x} = \dfrac{x\,(4+\pi)}{8}

h = \frac{x\,(4+\pi)}{8} - \frac{\pi x}{8} = \frac{4x}{8} = \frac{x}{2} \approx 2{,}12 \ \text{m}

Un resultado elegante: en la puerta óptima la altura del rectángulo es la mitad de su base, es decir, exactamente el radio del semicírculo.

P_{\min} = \left(1+\frac{\pi}{4}\right)x + \frac{32}{x} \approx 15{,}12 \ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuenta bien qué entra en el perímetro: la base, los dos lados verticales y la semicircunferencia ( $\pi x/2$ , no $\pi x$ ni $2\pi x$ ). El diámetro discontinuo de la figura es una línea auxiliar, no parte del contorno.

En el área, el semicírculo aporta $\frac{\pi r^{2}}{2}$ con $r = \frac{x}{2}$ , es decir $\frac{\pi x^{2}}{8}$ . Poner $\frac{\pi x^{2}}{2}$ (usando el diámetro como radio) multiplica por cuatro esa contribución y desbarata el problema.

Para justificar el mínimo, $P''(x) = \frac{64}{x^{3}} > 0$ es inmediato. Y el resultado $h = \frac{x}{2}$ es una buena comprobación: si no te sale, revisa el planteamiento.