Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sean

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas respectivamente por

f(x) = \frac{\lvert x\rvert}{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = \frac{1}{1+x^{2}}

a) [1 punto] Esboza las gráficas de

f

g

sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \frac x2 = \frac{1}{1+x^{2}} \;\Longrightarrow\; x^{3}+x-2 = (x-1)(x^{2}+x+2) = 0\;}

\boxed{\;x^{2}+x+2 \text{ no tiene raíces reales}: \quad \text{cortes } \left(\pm1,\, \tfrac12\right)\;}

\boxed{\;A = 2\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{1+x^{2}}-\frac x2\right]dx = 2\left[\arctan x-\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{1}\;}

\boxed{\;A = 2\left(\frac\pi4-\frac14\right) = \frac{\pi-1}{2} \approx 1{,}07 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos funciones son pares (simétricas respecto del eje

OY

), así que basta trabajar en

x\geq0

y duplicar. Eso elimina de golpe el valor absoluto:

x\geq0: \quad f(x) = \frac{x}{2}

Los cortes salen de una ecuación que, al quitar denominadores, es una cúbica; se factoriza con Ruffini y el factor cuadrático que queda no tiene raíces reales.

Y para el área hay que recordar que la primitiva de

\dfrac{1}{1+x^{2}}

\arctan x

Desarrollo

a) Las gráficas.

f

es una "V" con vértice en el origen y pendientes

\pm\frac12

g

es la campana de Agnesi: máximo en

(0,1)

, decreciente hacia los lados y con asíntota horizontal

y=0

.

Los cortes. Por simetría, trabajamos en

x\geq0

, donde

\lvert x\rvert = x

\frac{x}{2} = \frac{1}{1+x^{2}} \;\Longrightarrow\; x\,\bigl(1+x^{2}\bigr) = 2 \;\Longrightarrow\; x^{3}+x-2 = 0

Por Ruffini,

x=1

es raíz:

x^{3}+x-2 = (x-1)\bigl(x^{2}+x+2\bigr)

El factor

x^{2}+x+2

tiene discriminante

1-8 = -7 < 0

: sin raíces reales. Luego la única solución positiva es

x=1

, y por simetría también

x=-1

\left(-1,\; \frac12\right) \qquad \text{y} \qquad \left(1,\; \frac12\right)

b) El área. En

(-1,1)

, ¿quién va arriba? En

x=0

\;g(0) = 1 > f(0) = 0

. La campana está por encima.

A = \int_{-1}^{1}\left[\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{\lvert x\rvert}{2}\right]dx

Por simetría (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{x}{2}\right]dx = 2\left[\arctan x-\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{1}

Evaluando.

\arctan 1 = \frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; \left(\frac{\pi}{4}-\frac14\right)-\bigl(0-0\bigr) = \frac{\pi-1}{4}

A = 2\cdot\frac{\pi-1}{4} = \frac{\pi-1}{2} \approx 1{,}07 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Las dos funciones son pares: trabaja en $x\geq0$ y multiplica por $2$ . Así el valor absoluto desaparece y solo tienes que resolver una ecuación, no dos.

$\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan x$ . Es una primitiva inmediata que hay que reconocer al instante; intentar fracciones simples aquí no lleva a ninguna parte, porque $1+x^{2}$ no factoriza en $\mathbb{R}$ .

Tras aplicar Ruffini, comprueba el discriminante del factor cuadrático. Que sea negativo es lo que garantiza que solo hay dos puntos de corte y que el recinto es el que has dibujado.