Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque B). Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \bigl(x^{2} - 3x + 5\bigr)e^{x}

. Halla una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(0,5)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = \bigl(x^{2}-5x+10\bigr)e^{x} - 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Polinomio de grado

2

por exponencial: integración por partes dos veces, con

u

= polinomio en las dos vueltas (así el grado baja y en la segunda desaparece).

Hay un atajo muy útil que conviene conocer: la primitiva de

P(x)e^{x}

es siempre

Q(x)e^{x}

con

Q = P - P' + P'' - \cdots

Aquí, con

P = x^{2}-3x+5

, sale

Q = P - P' + P'' = x^{2}-5x+10

de un golpe. Abajo lo hago por partes (que es lo que hay que escribir en el examen) y compruebo con el atajo.

Desarrollo

Primera integración por partes. Con

u = x^{2}-3x+5

(

du = (2x-3)dx

) y

dv = e^{x}dx

(

v = e^{x}

\int \bigl(x^{2}-3x+5\bigr)e^{x}\,dx = \bigl(x^{2}-3x+5\bigr)e^{x} - \int (2x-3)e^{x}\,dx

Segunda integración por partes. Ahora

u = 2x-3

(

du = 2\,dx

dv = e^{x}dx

\int (2x-3)e^{x}\,dx = (2x-3)e^{x} - \int 2e^{x}\,dx = (2x-3)e^{x} - 2e^{x}

Juntando:

F(x) = \bigl(x^{2}-3x+5\bigr)e^{x} - \bigl(2x-3\bigr)e^{x} + 2e^{x} + C

F(x) = \bigl(x^{2}-3x+5 - 2x+3+2\bigr)e^{x} + C = \bigl(x^{2}-5x+10\bigr)e^{x} + C

(Coincide con el atajo: $P - P' + P'' = (x^{2}-3x+5) - (2x-3) + 2 = x^{2}-5x+10$ .)

Imponemos el punto $(0,5)$ .

F(0) = \bigl(0 - 0 + 10\bigr)e^{0} + C = 10 + C

10 + C = 5 \;\Longrightarrow\; C = -5

La primitiva pedida:

F(x) = \bigl(x^{2}-5x+10\bigr)e^{x} - 5

Comprobación. Derivando el producto:

F'(x) = (2x-5)e^{x} + \bigl(x^{2}-5x+10\bigr)e^{x} = \bigl(x^{2}-5x+10+2x-5\bigr)e^{x} = \bigl(x^{2}-3x+5\bigr)e^{x} = f(x)

F(0) = 10 - 5 = 5

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mantén el polinomio como $u$ en las dos integraciones por partes: cada vuelta baja un grado y a la segunda ya has terminado. Si en la segunda cambias y tomas $u = e^{x}$ , vuelves atrás y no avanzas.

Cuidado con los signos al agrupar: el $-\int(2x-3)e^{x}dx$ arrastra un menos que afecta a los dos términos del resultado, y de ahí sale el $+3+2$ . Comprobar derivando al final es lo que te salva de ese despiste.