Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Junio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque con optatividad 3). Halla la función

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

que pasa por los puntos

\bigl(2,\ e - 2 - 2\ln(2)\bigr)

(1, 0)

, y verifica que

f''(x) = e^{x-1} - \frac{1}{x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) - x, \qquad x \in (0, +\infty)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Nos dan la derivada segunda, así que hay que integrar dos veces, y cada integración arrastra su propia constante: aparecerán dos,

C

D

. Justo dos, como los dos puntos por los que pasa la gráfica. Ese emparejamiento (dos constantes ↔ dos condiciones) es la señal de que el problema está bien planteado.

La única integral que hay que recordar es

\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x

, que sale por partes. Todo lo demás es aritmética con cuidado.

Desarrollo

Primera integración. De

f''(x) = e^{x-1} - \dfrac{1}{x}

f'(x) = \int \left(e^{x-1} - \frac{1}{x}\right) dx = e^{x-1} - \ln(x) + C

(en el dominio

(0,+\infty)

\ln|x| = \ln x

).

Segunda integración. Necesitamos

\displaystyle\int \ln(x)\,dx

, que se hace por partes con

u = \ln(x)

dv = dx

\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - x

Por tanto:

f(x) = \int \bigl(e^{x-1} - \ln(x) + C\bigr) dx = e^{x-1} - \bigl(x\ln(x) - x\bigr) + Cx + D

f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) + x + Cx + D

Imponemos las condiciones.

Por el punto

(1,0)

, es decir

f(1) = 0

e^{0} - 1\cdot\ln(1) + 1 + C + D = 1 - 0 + 1 + C + D = 2 + C + D = 0 \;\Longrightarrow\; C + D = -2

Por el punto

\bigl(2,\ e - 2 - 2\ln 2\bigr)

, es decir

f(2) = e - 2 - 2\ln(2)

e^{1} - 2\ln(2) + 2 + 2C + D = e - 2 - 2\ln(2)

2 + 2C + D = -2 \;\Longrightarrow\; 2C + D = -4

Restando las dos ecuaciones:

(2C + D) - (C + D) = -4 - (-2) \;\Longrightarrow\; C = -2 \;\Longrightarrow\; D = 0

La función. Sustituyendo

C=-2

D=0

f(x) = e^{x-1} - x\ln(x) + x - 2x = e^{x-1} - x\ln(x) - x

Comprobación completa.

f(1) = e^{0} - 1\cdot 0 - 1 = 1 - 1 = 0

f(2) = e^{1} - 2\ln(2) - 2 = e - 2 - 2\ln(2)

f'(x) = e^{x-1} - \ln(x) - 1 - 1 = e^{x-1} - \ln(x) - 2, \qquad f''(x) = e^{x-1} - \frac{1}{x}

Los tres datos del enunciado se recuperan, así que la función es la correcta.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La constante de la primera integración no se queda quieta: al integrar otra vez se convierte en $Cx$ , no en $C$ . Olvidarlo es el error más frecuente de este ejercicio y deja el sistema de condiciones incompatible.

Y ten a mano $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$ : los criterios dan hasta $1{,}5$ puntos solo por calcular bien una primitiva de $f'$ , así que esa integral por partes es literalmente más de la mitad del ejercicio.