Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{2}\,e^{-x^{2}}

a) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Sin verticales}; \qquad \lim_{x\to\pm\infty} f = 0 \;\Longrightarrow\; \text{A.H.: } y = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = 2x\,(1-x^{2})\,e^{-x^{2}}: \text{ crece en } (-\infty,-1)\cup(0,1), \text{ decrece en } (-1,0)\cup(1,\infty)\;}

\boxed{\;\text{Máximos } \left(\pm 1,\, \tfrac1e\right); \qquad \text{mínimo } (0,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función es par y siempre no negativa, con dominio

\mathbb{R}

: no hay asíntotas verticales.

En el infinito gana la exponencial decreciente

e^{-x^{2}}

, mucho más rápida que el factor

x^{2}

, así que

f\to 0

: hay asíntota horizontal $y=0$ .

Al derivar, la exponencial sale factor común y el signo lo decide un polinomio que se factoriza fácil: aparecen tres puntos críticos.

Desarrollo

a) Asíntotas.

Verticales:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

(producto de funciones continuas): no hay.

Horizontales:

\lim_{x\to\pm\infty} x^{2}e^{-x^{2}} = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} = 0

(La exponencial crece mucho más deprisa que cualquier potencia; formalmente, con el cambio $u = x^{2}\to+\infty$ queda $\lim_{u\to\infty} u\,e^{-u} = 0$ .)

\textbf{Asíntota horizontal: } y = 0 \text{ en ambas ramas}

(Al existir horizontal, no hay oblicua.)

b) Monotonía.

f'(x) = 2x\,e^{-x^{2}} + x^{2}\cdot(-2x)\,e^{-x^{2}} = 2x\,\bigl(1 - x^{2}\bigr)e^{-x^{2}}

Como

e^{-x^{2}} > 0

siempre, el signo lo da

2x\,(1-x^{2}) = 2x\,(1-x)(1+x)

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1

\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{Intervalo} & 2x & 1-x^{2} & f' & f \\ \hline (-\infty,\, -1) & - & - & + & \text{creciente} \\ (-1,\, 0) & - & + & - & \text{decreciente} \\ (0,\, 1) & + & + & + & \text{creciente} \\ (1,\, +\infty) & + & - & - & \text{decreciente}\end{array}

\text{Creciente en } (-\infty,-1)\cup(0,1); \qquad \text{decreciente en } (-1,0)\cup(1,+\infty)

Extremos relativos.

x = \pm 1: \textbf{ máximos}, \qquad f(\pm 1) = 1\cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368

x = 0: \textbf{ mínimo}, \qquad f(0) = 0

\text{Máximos } \left(-1,\tfrac1e\right) \text{ y } \left(1,\tfrac1e\right); \qquad \text{mínimo } (0,\, 0)

(Los máximos son absolutos y el mínimo también, porque $f\geq 0$ y $f(0)=0$ .)

c) Esbozo.

f

es par: simetría respecto del eje

OY

. Toca el eje

OX

solo en el origen, sube hasta

\tfrac1e

x=\pm 1

y decae hacia

0

en ambos infinitos, siempre por encima del eje. Tiene forma de "doble joroba" con un valle en el origen.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Saca $e^{-x^{2}}$ factor común al derivar: como nunca se anula ni cambia de signo, todo el estudio se reduce al polinomio $2x(1-x^{2})$ , que tiene tres raíces. Olvidar la del origen deja el estudio incompleto.

Para el límite en el infinito, el argumento es que la exponencial gana al polinomio. Si quieres formalizarlo, escribe $\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}$ y aplica L'Hôpital (o el cambio $u = x^{2}$ ).

Aprovecha la paridad ( $f(-x) = f(x)$ ): basta estudiar $x\geq 0$ y reflejar respecto del eje $OY$ . También explica por qué los dos máximos valen exactamente lo mismo.