Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \bigl(1-x^{2}\bigr)e^{-x}

. Determina la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(-1,\,0)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = 1-x^{2}, \ dv = e^{-x}dx \;\Longrightarrow\; \int = -\bigl(1-x^{2}\bigr)e^{-x}-\int 2x\,e^{-x}dx\;}

\boxed{\;\int 2x\,e^{-x}dx = -2x\,e^{-x}-2e^{-x}\;}

\boxed{\;F(x) = e^{-x}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)+K = (x+1)^{2}e^{-x}+K\;}

\boxed{\;F(-1) = 0 \;\Longrightarrow\; K = 0: \quad F(x) = (x+1)^{2}e^{-x}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integración por partes dos veces, con el polinomio en

u

para que baje de grado.

Cuidado con el signo:

\;\int e^{-x}dx = -e^{-x}

, y ese menos reaparece en cada paso.

El resultado se agrupa muy bien: la primitiva es

\bigl(x+1\bigr)^{2}e^{-x}

, y como el punto dado es precisamente

x=-1

(donde ese cuadrado se anula), la constante sale cero.

Desarrollo

Primera integración por partes.

u = 1-x^{2} \;\Rightarrow\; du = -2x\,dx \qquad dv = e^{-x}dx \;\Rightarrow\; v = -e^{-x}

\int\bigl(1-x^{2}\bigr)e^{-x}dx = -\bigl(1-x^{2}\bigr)e^{-x}-\int 2x\,e^{-x}dx

(El segundo término: $-\int(-e^{-x})(-2x)\,dx = -\int 2x\,e^{-x}dx$ .)

Segunda integración por partes (para

\int 2x\,e^{-x}dx

u = 2x \;\Rightarrow\; du = 2\,dx \qquad dv = e^{-x}dx \;\Rightarrow\; v = -e^{-x}

\int 2x\,e^{-x}dx = -2x\,e^{-x}+\int 2e^{-x}dx = -2x\,e^{-x}-2e^{-x}

Juntando.

F(x) = -\bigl(1-x^{2}\bigr)e^{-x}-\Bigl[-2x\,e^{-x}-2e^{-x}\Bigr]+K

= e^{-x}\Bigl[-1+x^{2}+2x+2\Bigr]+K = e^{-x}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)+K

F(x) = (x+1)^{2}e^{-x}+K

Comprobación (derivando).

F'(x) = 2(x+1)e^{-x}-(x+1)^{2}e^{-x} = e^{-x}(x+1)\bigl[2-(x+1)\bigr] = e^{-x}(x+1)(1-x)

= e^{-x}\bigl(1-x^{2}\bigr) \;\checkmark

La condición del punto $(-1,0)$ .

F(-1) = (-1+1)^{2}e^{1}+K = 0+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = 0

F(x) = (x+1)^{2}\,e^{-x}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\int e^{-x}dx = -e^{-x}$ , con signo menos. Ese menos aparece en las dos integraciones por partes y es donde se pierden más puntos.

Agrupa el factor $e^{-x}$ al final: el corchete se simplifica a $(x+1)^{2}$ , una forma mucho más limpia y fácil de comprobar derivando.

El punto $(-1,0)$ está elegido para que $K=0$ : como $(x+1)^{2}$ se anula ahí, la comprobación es inmediata. Si te sale otra constante, revisa los signos.