Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera las funciones

f : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}

, definida por

f(x) = \ln(x+2)

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano), y

g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

, definida por

g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)

.

a) [1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de

f

, la gráfica de

g

, la recta

x = 1

y la recta

x = 3

. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas.)

b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f > g \text{ en } [1,3] \;(f(1)=\ln 3 > -1 = g(1)); \quad \text{el recinto va de } x=1 \text{ a } x=3\;}

\boxed{\;\int\ln(x+2)\,dx = (x+2)\ln(x+2) - (x+2) + C\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = \int_{1}^{3}\left[\ln(x+2) - \tfrac{x-3}{2}\right]dx = 5\ln 5 - 3\ln 3 - 1 \approx 3{,}75\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado regala los límites de integración: son

x=1

x=3

, las dos rectas verticales. Por eso avisa de que no hace falta buscar los cortes entre las curvas — dentro de ese intervalo no se cruzan.

Lo único que hay que decidir es quién va arriba, y basta evaluar en un punto. Después, el área es

A = \int_{1}^{3}\bigl[f(x) - g(x)\bigr]dx

La parte técnica es

\int\ln(x+2)\,dx

, que se hace por partes con

u = \ln(x+2)

dv = dx

Desarrollo

a) El recinto. En el intervalo

[1,3]

f(1) = \ln 3 \approx 1{,}10 \qquad g(1) = \frac{1-3}{2} = -1

f(3) = \ln 5 \approx 1{,}61 \qquad g(3) = \frac{3-3}{2} = 0

En ambos extremos

f > g

, y de hecho en todo el intervalo: como

f

es creciente,

f(x) \geq \ln 3 > 0

[1,3]

, mientras que

g(x) = \frac{x-3}{2} \leq 0

ahí. Por tanto las gráficas no se cortan en

[1,3]

y la curva logarítmica va por encima de la recta en todo el intervalo.

El recinto queda limitado arriba por

y = \ln(x+2)

(creciente y cóncava), abajo por la recta

y = \frac{x-3}{2}

(creciente, que corta al eje

OX

justo en

x=3

), y a los lados por las verticales

x=1

x=3

.

b) Primitiva del logaritmo. Por partes, con

u = \ln(x+2)

dv = dx

du = \frac{dx}{x+2}, \qquad v = x + 2

(Se elige $v = x+2$ en lugar de $v = x$ : ambas son primitivas de $dv = dx$ , y esta simplifica el segundo término.)

\int\ln(x+2)\,dx = (x+2)\ln(x+2) - \int\frac{x+2}{x+2}\,dx = (x+2)\ln(x+2) - (x+2)

Primera integral.

\int_{1}^{3}\ln(x+2)\,dx = \Bigl[(x+2)\ln(x+2) - (x+2)\Bigr]_{1}^{3}

= \bigl(5\ln 5 - 5\bigr) - \bigl(3\ln 3 - 3\bigr) = 5\ln 5 - 3\ln 3 - 2

Segunda integral.

\int_{1}^{3}\frac{x-3}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2} - 3x\right]_{1}^{3} = \frac{1}{2}\left[\left(\frac92 - 9\right) - \left(\frac12 - 3\right)\right]

= \frac{1}{2}\Bigl[-\frac92 + \frac52\Bigr] = \frac{1}{2}\,(-2) = -1

Área.

A = \bigl(5\ln 5 - 3\ln 3 - 2\bigr) - (-1) = 5\ln 5 - 3\ln 3 - 1

A \approx 8{,}047 - 3{,}296 - 1 = 3{,}75 \ \text{unidades cuadradas}

(También se puede escribir de forma compacta como $A = \ln\dfrac{5^{5}}{3^{3}} - 1 = \ln\dfrac{3125}{27} - 1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando el enunciado da dos rectas verticales, esas son las tapas del recinto: no busques cortes entre las curvas (el propio problema te dice que no hacen falta). Lo que sí debes justificar es cuál va arriba, evaluando en un punto del intervalo.

Al integrar $\ln(x+2)$ por partes, toma $v = x + 2$ y no $v = x$ . Las dos son válidas, pero con $v = x+2$ el segundo término se simplifica a $\int 1\,dx$ ; con $v = x$ te queda $\int\frac{x}{x+2}dx$ , que exige una división extra.

Y no confundas $\ln 5 - \ln 3$ con $\ln\frac53$ cuando llevan coeficientes distintos: aquí es $5\ln 5 - 3\ln 3 = \ln\frac{5^{5}}{3^{3}}$ , con los coeficientes como exponentes.