Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

g(x) = -\frac{x^{2}}{4} \qquad \text{y} \qquad f(x) = 3 - x^{2}

a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

y comprueba que también es tangente a la gráfica de

g

. Determina el punto de tangencia con la gráfica de

g

.

b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la recta

y = 4 - 2x

y las gráficas de

f

g

. Calcula todos los puntos de corte entre las gráficas (y la recta).

c) [0,75 puntos] Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad y = 4 - 2x; \quad -\tfrac{x^{2}}{4} = 4-2x \Rightarrow (x-4)^{2} = 0: \text{ tangente en } (4,-4)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Recta--}f\!: (1,2); \quad \text{recta--}g\!: (4,-4); \quad f\text{--}g\!: (\pm 2,\, -1)\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A = \int_{1}^{2}(x-1)^{2}dx + \int_{2}^{4}\frac{(x-4)^{2}}{4}dx = \frac13 + \frac23 = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La idea vertebradora: una recta es tangente a una parábola cuando, al igualarlas, la ecuación resultante tiene una raíz doble (discriminante nulo). Ese criterio resuelve el apartado a) sin necesidad de derivar la segunda parábola.

En b) hay tres pares de curvas que cortar: recta–

f

(tangente), recta–

g

(tangente) y

f

–

g

(dos cortes reales). El recinto queda encerrado entre los dos puntos de tangencia, con las dos parábolas por debajo y la recta por arriba, cambiando de parábola justo en su punto de corte.

Por eso, en c), la integral se parte en dos.

Desarrollo

a) Tangente a $f$ en $x=1$ .

f(1) = 3 - 1 = 2, \qquad f'(x) = -2x \;\Longrightarrow\; f'(1) = -2

y - 2 = -2\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 4 - 2x

¿Es tangente también a $g$ ? Igualamos:

-\frac{x^{2}}{4} = 4 - 2x \;\Longrightarrow\; -x^{2} = 16 - 8x \;\Longrightarrow\; x^{2} - 8x + 16 = 0

(x - 4)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4 \ \text{(doble)}

La raíz doble confirma la tangencia. El punto es

g(4) = -\frac{16}{4} = -4 \;\Longrightarrow\; (4,\, -4)

(También con derivadas: $g'(x) = -\tfrac{x}{2}$ y $g'(4) = -2$ , la misma pendiente $\checkmark$ )

b) Todos los puntos de corte.

Recta y $f$ : tangentes en $\;(1,\, 2)$ .
Recta y $g$ : tangentes en $\;(4,\, -4)$ .
$f$ y $g$ entre sí:

3 - x^{2} = -\frac{x^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; 3 = \frac{3x^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2

f(\pm 2) = 3 - 4 = -1 \;\Longrightarrow\; (2,\, -1) \ \text{y} \ (-2,\, -1)

El recinto está limitado arriba por la recta

y = 4-2x

, que toca a

f

x=1

y a

g

x=4

, y abajo por las dos parábolas: por

f

desde

x=1

hasta

x=2

y por

g

desde

x=2

hasta

x=4

, cambiando en el corte

(2,-1)

.

(Comprobación en $x=2$ : la recta vale $0$ , y $f(2) = g(2) = -1$ : la recta está por encima $\checkmark$ )

c) Área. Se parte en

x = 2

.

Tramo $[1,2]$ :

(4 - 2x) - \bigl(3 - x^{2}\bigr) = x^{2} - 2x + 1 = (x-1)^{2}

\int_{1}^{2}(x-1)^{2}dx = \left[\frac{(x-1)^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{3}

Tramo $[2,4]$ :

(4 - 2x) - \left(-\frac{x^{2}}{4}\right) = \frac{x^{2}}{4} - 2x + 4 = \frac{(x-4)^{2}}{4}

\int_{2}^{4}\frac{(x-4)^{2}}{4}\,dx = \left[\frac{(x-4)^{3}}{12}\right]_{2}^{4} = 0 - \left(-\frac{8}{12}\right) = \frac{2}{3}

Total.

A = \frac13 + \frac23 = 1 \ \text{unidad cuadrada}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Raíz doble = tangencia. Es el criterio más rápido para comprobar que una recta toca a una parábola sin volver a derivar: si al igualarlas el discriminante se anula, hay tangencia. Y si te sale una raíz doble donde esperabas dos cortes, no es un error: es la señal de que las curvas se tocan.

El recinto cambia de frontera inferior en $x=2$ , donde las dos parábolas se cruzan. Por eso hay que partir la integral; una sola integral de $1$ a $4$ con una única parábola daría un área equivocada.

Aprovecha las factorizaciones: los dos integrandos son cuadrados perfectos, $(x-1)^{2}$ y $\frac{(x-4)^{2}}{4}$ , precisamente porque en esos extremos hay tangencia. Integrar $(x-a)^{2}$ es inmediato y evita desarrollar polinomios.