Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 5. Sea

f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{2 - \cos x}

a) [2 puntos] Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = \dfrac{\pi}{3}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2-\cos x)^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{\pi}{3},\; \frac{5\pi}{3}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Máx. abs. } \frac{\sqrt3}{3} \text{ en } x = \frac{\pi}{3}; \qquad \text{mín. abs. } -\frac{\sqrt3}{3} \text{ en } x = \frac{5\pi}{3} \qquad (f(0)=f(2\pi)=0)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Tangente: } y = \frac{\sqrt3}{3}; \qquad \text{Normal: } x = \frac{\pi}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Extremos absolutos en un intervalo cerrado: hay que comparar los valores de

f

en los puntos críticos del interior y en los dos extremos del intervalo. El teorema de Weierstrass garantiza que existen, porque

f

es continua (el denominador

2 - \cos x

está siempre entre

1

3

, nunca se anula).

Al derivar el cociente aparecerá

\operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x

, que se simplifica a

1

: conviene estar atento para no arrastrar una expresión innecesariamente larga.

En b) hay una sorpresa:

x = \pi/3

es justo uno de los puntos críticos, así que la tangente es horizontal y la normal, vertical.

Desarrollo

Dominio y continuidad. Como

-1 \leq \cos x \leq 1

, se tiene

1 \leq 2 - \cos x \leq 3

: el denominador nunca se anula y

f

es continua en todo

[0,2\pi]

.

Derivada.

f'(x) = \frac{\cos x\,(2 - \cos x) - \operatorname{sen} x\,(\operatorname{sen} x)}{(2 - \cos x)^{2}} = \frac{2\cos x - \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x}{(2-\cos x)^{2}}

Usando

\operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x = 1

f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^{2}}

Puntos críticos. El denominador es siempre positivo, así que

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = \frac{1}{2} \;\Longleftrightarrow\; x = \frac{\pi}{3} \quad \text{o} \quad x = \frac{5\pi}{3}

(ambos dentro de

[0,2\pi]

).

Valores en los candidatos.

f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{sen}(\pi/3)}{2 - \cos(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{2 - 1/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577

f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{-\sqrt{3}/2}{3/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0{,}577

f(0) = \frac{0}{2-1} = 0, \qquad f(2\pi) = \frac{0}{2-1} = 0

Comparación.

\text{Máximo absoluto: } f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \qquad \text{Mínimo absoluto: } f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}

b) Rectas en $x = \pi/3$ . Ese punto es crítico, luego

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\cdot\frac12 - 1}{(3/2)^{2}} = 0

Tangente (recta horizontal por el punto

\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)

y = \frac{\sqrt{3}}{3}

Normal (perpendicular a una horizontal

\Rightarrow

vertical):

x = \frac{\pi}{3}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Extremos absolutos en un cerrado: los candidatos son los puntos críticos y los extremos del intervalo. Aquí $f(0) = f(2\pi) = 0$ no ganan, pero evaluarlos es parte de la respuesta; sin esa comparación no has justificado que sean absolutos y no solo relativos.

Al derivar, aplica la identidad fundamental en cuanto aparezca: $-\cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x = -1$ convierte un numerador feo en $2\cos x - 1$ . Sin ese paso, encontrar las raíces es mucho más difícil.

Y en b), cuando la pendiente es $0$ la normal no tiene pendiente: es la recta vertical $x = \pi/3$ . Escribir " $y = \dots$ " para una recta vertical es imposible; hay que darla en la forma $x =$ constante.