Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Dada la función

f

definida por

f(x) = \frac{3}{x^{2}-5x+4} \qquad \text{para } x\neq1 \ \text{ y } \ x\neq4

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de abscisas, y las rectas

\;x = 2

\;x = 3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4); \quad \frac{3}{(x-1)(x-4)} = \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-4}\;}

\boxed{\;\int f\,dx = -\ln|x-1|+\ln|x-4| = \ln\left|\frac{x-4}{x-1}\right|\;}

\boxed{\;\int_{2}^{3}f = \ln\tfrac12-\ln2 = -2\ln2 < 0 \ \text{(la curva va por debajo del eje)}\;}

\boxed{\;A = 2\ln2 = \ln4 \approx 1{,}39 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional: se factoriza el denominador y se descompone en fracciones simples.

x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4)

Detalle crucial: en

[2,3]

se tiene

x-1>0

x-4<0

, luego el denominador es negativo y

f(x)<0

. La gráfica va por debajo del eje, así que

\text{Área} = \left|\int_{2}^{3}f(x)\,dx\right| = -\int_{2}^{3}f(x)\,dx

(El intervalo $[2,3]$ no contiene ninguna de las asíntotas $x=1$ y $x=4$ : la integral es propia.)

Desarrollo

Fracciones simples.

\frac{3}{(x-1)(x-4)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-4} \;\Longrightarrow\; 3 = A\,(x-4)+B\,(x-1)

Con $x = 1$ :

\;3 = -3A \Rightarrow A = -1

Con $x = 4$ :

\;3 = 3B \Rightarrow B = 1

f(x) = \frac{-1}{x-1}+\frac{1}{x-4}

La primitiva.

\int f(x)\,dx = -\ln|x-1|+\ln|x-4| = \ln\left|\frac{x-4}{x-1}\right|

La integral definida.

\int_{2}^{3}f(x)\,dx = \left[\ln\left|\frac{x-4}{x-1}\right|\right]_{2}^{3}

En $x = 3$ :

\;\ln\left|\dfrac{-1}{2}\right| = \ln\dfrac12 = -\ln2

En $x = 2$ :

\;\ln\left|\dfrac{-2}{1}\right| = \ln2

\int_{2}^{3}f(x)\,dx = -\ln2-\ln2 = -2\ln2

El signo confirma que la curva va por debajo del eje. El área es el valor absoluto:

A = \bigl|-2\ln2\bigr| = 2\ln2 = \ln4 \approx 1{,}386 \ \text{u}^{2}

Comprobación del signo. En

x = 2{,}5

f(2{,}5) = \frac{3}{6{,}25-12{,}5+4} = \frac{3}{-2{,}25} = -1{,}\overline{3} < 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba el signo de $f$ en el intervalo antes de dar el área: aquí la integral sale negativa porque la gráfica está bajo el eje, y el área es su valor absoluto.

Verifica también que el intervalo no contiene las asíntotas ( $x=1$ y $x=4$ ). Si las contuviera, la integral sería impropia y el planteamiento no valdría.

Para hallar $A$ y $B$ , sustituye las raíces del denominador: cada una anula un sumando y da la otra constante sin resolver ningún sistema.