Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}(x-1)}

para

x\neq 0

x\neq 1

, y sea

F

la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

P\bigl(2,\ \ln(2)\bigr)

(

\ln

denota logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de

F

en el punto

P

.

b) [2 puntos] Determina la función

F

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } F'(2) = f(2) = \tfrac54: \quad y = \ln 2 + \tfrac54\,(x-2)\;}

\boxed{\;\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x-1)} = -\frac1x-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x-1}\;}

\boxed{\;F(x) = -\ln\lvert x\rvert+\frac1x+2\ln\lvert x-1\rvert+K; \qquad F(2)=\ln2 \Rightarrow K = 2\ln2-\tfrac12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) es más fácil de lo que parece y no requiere calcular

F

: por definición de primitiva,

F'(x) = f(x) \;\Longrightarrow\; \text{pendiente en } P = F'(2) = f(2)

Basta con evaluar

f

2

.

El apartado b) es una integral racional con raíz doble en el denominador (

x^{2}

), así que la descomposición en fracciones simples lleva tres términos:

\frac{A}{x}

\frac{B}{x^{2}}

\frac{C}{x-1}

. La constante de integración se fija con el punto

P

Desarrollo

a) La recta tangente en $P$ . La pendiente es

F'(2) = f(2) = \frac{2^{2}+1}{2^{2}\,(2-1)} = \frac{5}{4}

Como

F(2) = \ln 2

, la tangente por

P\bigl(2,\ln 2\bigr)

y - \ln 2 = \frac{5}{4}\,(x-2) \qquad\Longleftrightarrow\qquad y = \frac{5}{4}x - \frac{5}{2} + \ln 2

b) Descomposición en fracciones simples. El denominador es

x^{2}(x-1)

, con la raíz

x=0

doble:

\frac{x^{2}+1}{x^{2}(x-1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-1}

Multiplicando por

x^{2}(x-1)

x^{2}+1 = A\,x\,(x-1) + B\,(x-1) + C\,x^{2}

Valores cómodos.

x = 0: \quad 1 = -B \;\Longrightarrow\; B = -1

x = 1: \quad 2 = C \;\Longrightarrow\; C = 2

Coeficiente de $x^{2}$ :

\;1 = A + C \;\Longrightarrow\; A = 1-2 = -1

f(x) = -\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x-1}

Integrando.

F(x) = \int f = -\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{x} + 2\ln\lvert x-1\rvert + K

(Ojo con el término central: $\int -x^{-2}dx = x^{-1}$ , no un logaritmo.)

La constante. Imponiendo

F(2) = \ln 2

-\ln 2 + \frac12 + 2\ln 1 + K = \ln 2 \;\Longrightarrow\; -\ln2+\frac12+K = \ln2

K = 2\ln 2 - \frac{1}{2}

F(x) = -\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{x} + 2\ln\lvert x-1\rvert + 2\ln 2 - \frac{1}{2}

(Precisión: el dominio de $f$ son tres intervalos, $(-\infty,0)$ , $(0,1)$ y $(1,+\infty)$ , y en cada uno la primitiva lleva su propia constante. El punto $P$ solo fija la del intervalo que lo contiene, $(1,+\infty)$ , donde además $\lvert x\rvert = x$ y $\lvert x-1\rvert = x-1$ .)

Comprobación.

F'(x) = -\frac1x - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1} = \frac{-x(x-1)-(x-1)+2x^{2}}{x^{2}(x-1)} = \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x-1)} \;\checkmark

F(2) = -\ln2+\tfrac12+0+2\ln2-\tfrac12 = \ln 2 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para a) no hace falta calcular $F$ : la pendiente de la tangente a la primitiva es $F'(2) = f(2)$ . Muchos alumnos integran primero y pierden diez minutos por nada.

Con una raíz doble en el denominador hacen falta dos fracciones, $\frac{A}{x}$ y $\frac{B}{x^{2}}$ . Si solo pones una, la identidad no se puede cumplir para todo $x$ .

$\int\frac{dx}{x^{2}}$ no es un logaritmo: es $-\frac1x$ . Solo los denominadores de grado uno dan logaritmos. Y no olvides el $+K$ : la primitiva pedida es la que pasa por $P$ , no una cualquiera.