Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x\operatorname{arctan}(x)

. Determina la primitiva de

f

cuya gráfica pasa por el punto

(0, \pi)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \operatorname{arctan} x,\; dv = x\,dx; \qquad \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}\;}

\boxed{\;\int x\operatorname{arctan} x\,dx = \frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctan} x - \frac{x}{2} + C\;}

\boxed{\;F(0) = \pi \Rightarrow C = \pi: \quad F(x) = \frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctan}(x) - \frac{x}{2} + \pi\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Producto de un polinomio por un arco tangente: integración por partes, pero con la elección al revés de lo habitual. Aquí hay que tomar

u = \operatorname{arctan} x \quad (\text{para que al derivar desaparezca el arco tangente}), \qquad dv = x\,dx

Al derivar el arco tangente aparece

\dfrac{1}{1+x^{2}}

, y la integral que queda es racional: se resuelve con una división inmediata.

Al final, la condición

F(0) = \pi

fija la constante.

Desarrollo

Integración por partes.

u = \operatorname{arctan} x \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{1+x^{2}}, \qquad dv = x\,dx \;\Longrightarrow\; v = \frac{x^{2}}{2}

\int x\operatorname{arctan} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctan} x - \frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx

La integral racional. El numerador y el denominador tienen el mismo grado, así que se divide:

\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{\bigl(1+x^{2}\bigr) - 1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}

\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = x - \operatorname{arctan} x

Juntando.

\int x\operatorname{arctan} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctan} x - \frac{1}{2}\bigl(x - \operatorname{arctan} x\bigr) + C

= \frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctan} x - \frac{x}{2} + C

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctan} x - \frac{x}{2}\right] = x\operatorname{arctan} x + \frac{x^{2}+1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}} - \frac12

= x\operatorname{arctan} x + \frac12 - \frac12 = x\operatorname{arctan} x \quad \checkmark

La constante. Imponemos

F(0) = \pi

F(0) = \frac{0+1}{2}\operatorname{arctan} 0 - 0 + C = 0 + C = C

C = \pi

F(x) = \frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctan}(x) - \frac{x}{2} + \pi

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un arco tangente (o un logaritmo) multiplicando, se elige $u$ = esa función, aunque no sea el polinomio. La razón es que $\operatorname{arctan} x$ no se sabe integrar directamente, pero sí derivar.

$\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}$ no es un arco tangente: hay que dividir primero y separarlo en $1 - \dfrac{1}{1+x^{2}}$ . El arco tangente aparece después, en el segundo sumando.

Agrupa el resultado como $\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctan} x$ : queda más compacto y hace evidente que $F(0) = 0$ , lo que deja $C = \pi$ de un vistazo.