Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2020 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 1. Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 1} \qquad \text{para } x \neq 1,\, -1

a) [1,25 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-3}{x-1}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad x = -1: \text{ discontinuidad evitable (no asíntota)}; \quad \text{A.V.: } x = 1; \quad \text{A.H.: } y = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{2}{(x-1)^{2}} > 0 \;\Longrightarrow\; f \text{ creciente en todo su dominio}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es factorizar, y aquí está la clave del ejercicio: numerador y denominador comparten el factor

(x+1)

. Al simplificar,

f

se convierte en una función mucho más sencilla, y

x = -1

deja de ser una asíntota para pasar a ser una discontinuidad evitable (un "agujero" en la gráfica).

Con la expresión simplificada, todo lo demás es rutina: la asíntota vertical que sí sobrevive, la horizontal por el límite en el infinito, y la monotonía por el signo de

f'

Desarrollo

Factorización y simplificación.

x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1), \qquad x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)

f(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x - 3}{x - 1}, \qquad x \neq 1,\, -1

(el factor

(x+1)

se simplifica, pero

x = -1

sigue estando fuera del dominio).

a) Asíntotas.

En $x = -1$ : el factor se cancela, luego el límite es finito:

\lim_{x\to -1} f(x) = \frac{-1-3}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2

No hay asíntota vertical en $x = -1$ : es una discontinuidad evitable (la gráfica tiene un punto vacío en

(-1, 2)

).

En $x = 1$ : el denominador se anula y el numerador vale

1 - 3 = -2 \neq 0

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^{-}} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x-3}{x-1} = \frac{-2}{0^{+}} = -\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

En el infinito: grados iguales, cociente de coeficientes principales:

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-3}{x-1} = 1 \;\Longrightarrow\; \textbf{Asíntota horizontal: } y = 1

(Al haber asíntota horizontal en ambas ramas, no hay oblicua.)

b) Monotonía. Derivando el cociente ya simplificado:

f'(x) = \frac{1\cdot(x-1) - (x-3)\cdot 1}{(x-1)^{2}} = \frac{x - 1 - x + 3}{(x-1)^{2}} = \frac{2}{(x-1)^{2}}

El numerador es la constante

2 > 0

y el denominador es un cuadrado, siempre positivo:

f'(x) > 0 \quad \text{para todo } x \text{ del dominio}

f \text{ es \textbf{creciente} en cada uno de los intervalos } (-\infty, -1),\; (-1, 1) \text{ y } (1, +\infty)

No hay extremos relativos: la derivada no se anula nunca.

(Cuidado con el enunciado del intervalo: $f$ crece en cada trozo del dominio, pero no es creciente "en $\mathbb{R}$ ", porque a la izquierda de $x=1$ tiende a $+\infty$ y a la derecha reaparece en $-\infty$ .)

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Consejo

Simplifica antes de derivar y antes de buscar asíntotas. Si atacas la fracción original sin factorizar, derivarás un cociente de polinomios de grado 2 (mucho más trabajo) y, sobre todo, dirás que $x=-1$ es asíntota vertical. No lo es: el factor se cancela y el límite es finito. Ese es exactamente el punto que el ejercicio quiere comprobar.

Un denominador que se anula no basta para tener asíntota vertical: hace falta que el límite sea infinito, y eso exige que el numerador no se anule también.

Y al escribir la monotonía, no olvides excluir del intervalo los puntos que no están en el dominio: $f$ crece en cada trozo, no "en $\mathbb{R}$ ".