Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sean

f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones definidas por

f(x) = x^{2}-2x

g(x) = -x^{2}+4x

respectivamente.

a) [0,75 puntos] Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

b) [1,75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2}-2x = -x^{2}+4x \;\Longrightarrow\; 2x\,(x-3) = 0: \quad x = 0,\ x = 3\;}

\boxed{\;\text{Cortes } (0,0) \text{ y } (3,3); \ \text{en } (0,3) \text{ va arriba } g \ \bigl(g(1) = 3 > f(1) = -1\bigr)\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{3}\bigl(-2x^{2}+6x\bigr)dx = \left[-\frac{2x^{3}}{3}+3x^{2}\right]_{0}^{3}\;}

\boxed{\;A = -18+27 = 9 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos parábolas: una con ramas hacia arriba (

f

) y otra hacia abajo (

g

). Al igualarlas, los términos cuadráticos no se cancelan (tienen signos opuestos), y queda una cuadrática que se factoriza sacando

x

factor común.

Entre los dos cortes, la parábola invertida (

g

) va por encima, así que el integrando es

g-f

Desarrollo

a) Los puntos de corte.

x^{2}-2x = -x^{2}+4x \;\Longrightarrow\; 2x^{2}-6x = 0 \;\Longrightarrow\; 2x\,(x-3) = 0

x = 0 \quad \text{o} \quad x = 3

f(0) = 0 \qquad f(3) = 9-6 = 3

\text{Cortes: } (0,\,0) \qquad \text{y} \qquad (3,\,3)

El recinto.

f(x) = x^{2}-2x

es una parábola con ramas hacia arriba, ceros en

0

2

y vértice

(1,-1)

g(x) = -x^{2}+4x

tiene ramas hacia abajo, ceros en

0

4

y vértice

(2,4)

. Entre

x=0

x=3

encierran una figura con forma de lente.

¿Quién va arriba? En

x = 1

g(1) = 3 \qquad > \qquad f(1) = -1

La parábola invertida

g

está por encima.

b) El área.

A = \int_{0}^{3}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]dx = \int_{0}^{3}\Bigl[\bigl(-x^{2}+4x\bigr)-\bigl(x^{2}-2x\bigr)\Bigr]dx = \int_{0}^{3}\bigl(-2x^{2}+6x\bigr)dx

= \left[-\frac{2x^{3}}{3}+3x^{2}\right]_{0}^{3} = -\frac{2\cdot27}{3}+27 = -18+27 = 9

A = 9 \ \text{u}^{2}

(Comprobación con la fórmula del "área entre parábolas": para $ax^{2}+\cdots$ con raíces separadas por $d$ , el área encerrada es $\frac{\lvert a\rvert\,d^{3}}{6}$ . Aquí $a = -2$ y $d = 3$ : $\;\frac{2\cdot27}{6} = 9$ $\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al igualar dos parábolas con coeficientes principales de signo opuesto, los términos cuadráticos no se cancelan: queda una ecuación de segundo grado, no de primero.

Decide quién va arriba evaluando en un punto interior. Si restas al revés obtienes $-9$ , y un área negativa no existe.

Como comprobación, el área entre dos parábolas que se cortan en dos puntos separados por $d$ es $\frac{\lvert a\rvert d^{3}}{6}$ , con $a$ el coeficiente principal de la diferencia. Aquí $\frac{2\cdot 27}{6} = 9$ .