Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula una primitiva de la función

f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right)

cuya gráfica pase por el punto

(0, 1)

(

\operatorname{arc\,tg}

denota la función arco tangente).

Sugerencia: efectúa el cambio $x = t^{2}$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = (x + 1)\operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) - \sqrt{x} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ejercicio de tres técnicas encadenadas, y por eso vale la pena hacerlo con orden:

Cambio de variable $x = t^{2}$ , que sugiere el enunciado, para quitar la raíz de dentro del arco tangente.
Integración por partes, tomando $u = \operatorname{arc\,tg} t$ (que es lo que no sabemos integrar pero sí derivar).
Aparecerá una integral racional, $\int \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt$ , que se resuelve con el truco de sumar y restar $1$ en el numerador.

Al final, deshacer el cambio y ajustar la constante con el punto

(0,1)

Desarrollo

Cambio de variable.

x = t^{2}, \qquad t = \sqrt{x} \geq 0, \qquad dx = 2t\,dt

\int \operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right)dx = \int \operatorname{arc\,tg}(t)\cdot 2t\,dt

Integración por partes.

u = \operatorname{arc\,tg} t \;\Longrightarrow\; du = \frac{dt}{1 + t^{2}}, \qquad dv = 2t\,dt \;\Longrightarrow\; v = t^{2}

\int 2t\operatorname{arc\,tg} t\,dt = t^{2}\operatorname{arc\,tg} t - \int \frac{t^{2}}{1 + t^{2}}\,dt

La integral racional. Sumando y restando

1

en el numerador:

\frac{t^{2}}{1 + t^{2}} = \frac{t^{2} + 1 - 1}{1 + t^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + t^{2}}

\int \frac{t^{2}}{1+t^{2}}\,dt = \int dt - \int \frac{dt}{1+t^{2}} = t - \operatorname{arc\,tg} t

Primitiva en $t$ .

\int 2t\operatorname{arc\,tg} t\,dt = t^{2}\operatorname{arc\,tg} t - t + \operatorname{arc\,tg} t + C = \bigl(t^{2} + 1\bigr)\operatorname{arc\,tg} t - t + C

Deshacer el cambio. Con

t = \sqrt{x}

t^{2} = x

F(x) = (x + 1)\operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) - \sqrt{x} + C

Determinación de $C$ . Imponemos

F(0) = 1

F(0) = (0+1)\operatorname{arc\,tg}(0) - 0 + C = 0 + C = C

C = 1

F(x) = (x + 1)\operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) - \sqrt{x} + 1

Comprobación. Derivando, con

\bigl(\operatorname{arc\,tg}\sqrt{x}\bigr)' = \dfrac{1}{1+x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

F'(x) = \operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) + (x+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)} - \frac{1}{2\sqrt{x}}

= \operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \operatorname{arc\,tg}\!\left(\sqrt{x}\right) \quad \checkmark

Los dos últimos términos se cancelan: buena señal de que las partes están bien hechas.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al integrar por partes, elige $dv = 2t\,dt$ (con $v = t^{2}$ ), no $dv = dt$ . Si tomas $u = 2t$ y $dv = \operatorname{arc\,tg} t\,dt$ te encuentras teniendo que integrar el arco tangente, que es justamente lo que no sabes hacer. Regla práctica: $u$ es la función que se simplifica al derivar (arcos, logaritmos), y $dv$ el resto.

El truco de $\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}} = 1 - \dfrac{1}{1+t^{2}}$ aparece en todos los ejercicios de este tipo. Cuando el numerador y el denominador de una racional tienen el mismo grado, la división (o sumar y restar) es siempre el primer paso.