Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función dada por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x\,(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}} & \text{si } x\neq1 \\[3mm] a & \text{si } x = 1\end{cases}

a) [1,25 puntos] Sabiendo que

f

es continua, calcula

a

. (

\ln

denota el logaritmo neperiano).

b) [1,25 puntos] Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to1}\frac{x(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}} = 1\cdot\left(\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2}\;}

\boxed{\;\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to1}\frac{1/x}{1} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

\boxed{\;\text{b) } \frac{x(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}} \sim \frac{(\ln x)^{2}}{x} \;\longrightarrow\; 0\;}

\boxed{\;\text{Asíntota horizontal } y = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Continuidad en $x=1$ significa $\;a = \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$ . Ese límite es del tipo $\frac00$ (el numerador tiene $(\ln1)^{2} = 0$ y el denominador $(1-1)^{2} = 0$ ).

Conviene separar el factor $x$ , que tiende a

1

, y quedarse con

\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2}

un límite conocido que vale

1

(y que también sale con L'Hôpital).

b) Para $x\to+\infty$ se comparan órdenes: el logaritmo crece más despacio que cualquier potencia, así que el cociente tiende a $0$ .

Desarrollo

a) El límite en $x = 1$ .

\lim_{x\to1}\frac{x\,(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}} = \left(\lim_{x\to1}x\right)\cdot\lim_{x\to1}\left(\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2} = 1\cdot\left(\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}\right)^{2}

El límite de dentro es

\frac00

; por L'Hôpital:

\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{\tfrac1x}{1} = 1

\lim_{x\to1}f(x) = 1\cdot1^{2} = 1

Para que

f

sea continua en

x=1

hace falta que ese límite coincida con

f(1) = a

a = 1

(En el resto del dominio $f$ es continua: es cociente de funciones continuas con denominador no nulo.)

b) La asíntota horizontal.

\lim_{x\to+\infty}\frac{x\,(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}}

Simplificando el orden de crecimiento: como

(x-1)^{2}\sim x^{2}

cuando

x\to\infty

\frac{x\,(\ln x)^{2}}{(x-1)^{2}} \sim \frac{x\,(\ln x)^{2}}{x^{2}} = \frac{(\ln x)^{2}}{x}

Y el logaritmo (aunque esté al cuadrado) crece mucho más despacio que

x

\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0

(Con L'Hôpital dos veces: $\dfrac{2\ln x}{x} \to \dfrac{2/x}{1} \to 0$ .)

\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0

\textbf{Sí existe asíntota horizontal: } y = 0

(Solo por la derecha: el dominio es $(0,+\infty)$ , así que no hay rama en $-\infty$ . Y cerca de $x=0^{+}$ la función tiende a $0$ también, porque $x\,(\ln x)^{2}\to0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Separa los factores que no dan indeterminación: aquí el $x$ del numerador tiende a $1$ y se puede sacar del límite, dejando el clásico $\frac{\ln x}{x-1}\to1$ .

Recuerda la jerarquía de infinitos: logaritmo $\ll$ potencia $\ll$ exponencial. Por eso $\frac{(\ln x)^{2}}{x}\to0$ sin necesidad de calcular nada.

"Continua" en un enunciado con un valor $a$ suelto significa siempre lo mismo: el valor debe coincidir con el límite. Ese es todo el apartado a).