Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \dfrac{e^{x}}{x-1}

para

x\neq 1

.

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1,5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) A.V. } x = 1 \ (\text{a } -\infty \text{ y } +\infty); \quad \text{A.H. } y = 0 \text{ solo en } -\infty\;}

\boxed{\;\text{En } +\infty \text{ la rama es parabólica: } \lim\frac{f(x)}{x} = +\infty\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{e^{x}(x-2)}{(x-1)^{2}}, \quad \text{signo} = \text{signo}(x-2)\;}

\boxed{\;\text{Decrece en } (-\infty,1)\cup(1,2); \ \text{crece en } (2,\infty); \ \text{mínimo } \bigl(2,e^{2}\bigr)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El denominador se anula en $x=1$ y el numerador no ( $e^{1}\neq0$ ): asíntota vertical. Después hay que mirar $x\to\pm\infty$ , y ahí los dos lados se comportan de forma muy distinta, porque $e^{x}\to+\infty$ por la derecha pero $e^{x}\to0$ por la izquierda.
b) Derivada de un cociente. Al simplificar, $e^{x}$ sale factor común y nunca se anula, así que el signo lo decide un polinomio de primer grado.

Desarrollo

a) Asíntota vertical. En

x=1

el denominador se anula y el numerador vale

e\neq0

\lim_{x\to1^{-}}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{e}{0^{-}} = -\infty \qquad \lim_{x\to1^{+}}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{e}{0^{+}} = +\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

Comportamiento en $-\infty$ .

\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}}{x-1} = \frac{0}{-\infty} = 0

\textbf{Asíntota horizontal: } y = 0 \text{ cuando } x\to-\infty

Comportamiento en $+\infty$ . La exponencial gana a cualquier polinomio:

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x-1} = +\infty

¿Oblicua?

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{2}-x} = +\infty

\textbf{No hay asíntota oblicua: rama parabólica en } +\infty

b) La derivada.

f'(x) = \frac{e^{x}(x-1)-e^{x}\cdot 1}{(x-1)^{2}} = \frac{e^{x}\bigl[(x-1)-1\bigr]}{(x-1)^{2}} = \frac{e^{x}\,(x-2)}{(x-1)^{2}}

Signo. Como

e^{x}>0

(x-1)^{2}>0

(para

x\neq1

), el signo es el de $x-2$ :

x<2 \ (x\neq1): \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece} \qquad x>2: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Decrece en } (-\infty,1)\cup(1,2) \qquad \text{Crece en } (2,+\infty)

(El punto $x=1$ no pertenece al dominio, así que hay que excluirlo de los intervalos aunque el signo no cambie ahí.)

El extremo. En

x=2

la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo.

f(2) = \frac{e^{2}}{2-1} = e^{2} \approx 7{,}39

\textbf{Mínimo relativo en } \bigl(2,\; e^{2}\bigr)

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Consejo

Estudia $+\infty$ y $-\infty$ por separado: la exponencial es asimétrica y aquí hay asíntota horizontal solo en un lado. Escribir " $y=0$ es asíntota horizontal" sin especificar dónde es una respuesta incompleta.

Al derivar, saca $e^{x}$ factor común en el numerador: como es siempre positivo, el signo de $f'$ lo decide únicamente $x-2$ . Eso reduce el estudio a mirar un solo factor.

Excluye $x=1$ de los intervalos de monotonía aunque el signo de $f'$ no cambie ahí: no está en el dominio. Escribir "decrece en $(-\infty,2)$ " sería incorrecto.