Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida como

f(x) = (x+1)\sqrt[3]{3-x}

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

\;x = -5\;

y en el punto de abscisa

\;x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = (3-x)^{1/3}-\frac{x+1}{3(3-x)^{2/3}} = \frac{4\,(2-x)}{3\sqrt[3]{(3-x)^{2}}}\;}

\boxed{\;x = -5: \ f(-5) = -8, \ f'(-5) = \tfrac73\;}

\boxed{\;\text{Tang.: } y = \tfrac73 x+\tfrac{11}{3}; \quad \text{Normal: } y = -\tfrac37 x-\tfrac{71}{7}\;}

\boxed{\;x = 2: \ f(2) = 3, \ f'(2) = 0 \Rightarrow \text{Tang. } y = 3; \ \text{Normal } x = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Escribe la raíz como potencia antes de derivar:

f(x) = (x+1)\,(3-x)^{1/3}

y aplica la regla del producto junto con la de la cadena (¡ojo al

-1

de la derivada de

3-x

!).

El punto

x = 2

es especial: allí la derivada se anula, así que la tangente es horizontal y la normal, vertical (no tiene pendiente).

Desarrollo

La derivada.

f'(x) = (3-x)^{1/3}+(x+1)\cdot\frac13(3-x)^{-2/3}\cdot(-1)

= (3-x)^{1/3}-\frac{x+1}{3\,(3-x)^{2/3}}

Poniendo denominador común

3(3-x)^{2/3}

f'(x) = \frac{3\,(3-x)-(x+1)}{3\,(3-x)^{2/3}} = \frac{9-3x-x-1}{3\,(3-x)^{2/3}} = \frac{8-4x}{3\,(3-x)^{2/3}}

f'(x) = \frac{4\,(2-x)}{3\,\sqrt[3]{(3-x)^{2}}}

En $x = -5$ .

f(-5) = (-4)\sqrt[3]{8} = -4\cdot2 = -8 \;\Longrightarrow\; \text{punto } (-5,\,-8)

f'(-5) = \frac{4\,(2+5)}{3\sqrt[3]{8^{2}}} = \frac{28}{3\cdot4} = \frac73

Tangente:

y+8 = \frac73\,(x+5) \;\Longrightarrow\; y = \frac73 x+\frac{35}{3}-8 = \frac73 x+\frac{11}{3}

Normal (pendiente

-\dfrac{3}{7}

y+8 = -\frac37\,(x+5) \;\Longrightarrow\; y = -\frac37 x-\frac{15}{7}-8 = -\frac37 x-\frac{71}{7}

En $x = 2$ .

f(2) = 3\cdot\sqrt[3]{1} = 3 \;\Longrightarrow\; \text{punto } (2,\,3)

f'(2) = \frac{4\,(2-2)}{3\sqrt[3]{1}} = 0

Tangente horizontal:

y = 3

Normal vertical (perpendicular a una horizontal):

x = 2

(La normal no tiene pendiente: no se puede escribir como $y = mx+n$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe $\sqrt[3]{3-x} = (3-x)^{1/3}$ antes de derivar y no olvides el $-1$ de la regla de la cadena: es el signo que hace que el numerador quede $4(2-x)$ y no $4(x-2)$ .

Cuando $f'(a) = 0$ , la tangente es horizontal ( $y = f(a)$ ) y la normal es vertical ( $x = a$ ). La normal no se puede escribir con pendiente: $-\frac{1}{0}$ no existe.

Simplifica la derivada a una sola fracción antes de evaluar: con potencias fraccionarias, dejar dos sumandos multiplica las ocasiones de equivocarse.