Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \bigl\lvert x^{2}-4\bigr\rvert

.

a) [0,75 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de

f

.

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = 5

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = x^{2}-4 \text{ si } \lvert x\rvert\geq2; \quad f(x) = 4-x^{2} \text{ si } \lvert x\rvert<2\;}

\boxed{\;\lvert x^{2}-4\rvert = 5 \;\Longrightarrow\; x = \pm3 \quad (4-x^{2}=5 \text{ no tiene solución real})\;}

\boxed{\;A = 2\left[\int_{0}^{2}\bigl(1+x^{2}\bigr)dx+\int_{2}^{3}\bigl(9-x^{2}\bigr)dx\right] = 2\left(\frac{14}{3}+\frac83\right)\;}

\boxed{\;A = \frac{44}{3} \approx 14{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a partir la función en trozos y, por tanto, a partir también la integral.

f(x) = \begin{cases} x^{2}-4 & \text{si } \lvert x\rvert\geq 2 \\ 4-x^{2} & \text{si } \lvert x\rvert<2\end{cases}

Los cortes con

y=5

salen de resolver

\lvert x^{2}-4\rvert = 5

, que son dos ecuaciones; una de ellas no tiene solución real.

Dentro del recinto la recta va por encima, así que se integra

5 - f(x)

, partiendo en los puntos donde cambia la rama de

f

(es decir, en

x = \pm2

).

Aprovecha la simetría:

f

es par y la recta también, así que basta calcular la mitad derecha y duplicar.

Desarrollo

a) La gráfica. Se toma la parábola

y = x^{2}-4

(vértice

(0,-4)

, ceros en

x=\pm2

) y se refleja sobre el eje $OX$ la parte que queda por debajo, es decir, el tramo

-2<x<2

\text{Resultado: dos ramas hacia arriba desde } (\pm2,0), \text{ y un arco hacia abajo con máximo } (0,4)

La recta

y=5

es horizontal y corta a

f

solo en las ramas exteriores.

Cortes con $y=5$ .

\lvert x^{2}-4\rvert = 5 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x^{2}-4 = 5 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = \pm 3 \\[4pt] 4-x^{2} = 5 \;\Longrightarrow\; x^{2} = -1 \;\Longrightarrow\; \text{sin solución real}\end{cases}

El recinto se extiende entre

x = -3

x = 3

.

b) El área. Dentro de

(-3,3)

la recta está por encima de

f

(por ejemplo en

x=0

5 > 4

), así que

A = \int_{-3}^{3}\Bigl[5-\bigl\lvert x^{2}-4\bigr\rvert\Bigr]dx

Por simetría (el integrando es par):

A = 2\int_{0}^{3}\Bigl[5-\bigl\lvert x^{2}-4\bigr\rvert\Bigr]dx

Y hay que partir en $x=2$ , donde cambia la rama:

Tramo $[0,2]$ , con

\lvert x^{2}-4\rvert = 4-x^{2}

\int_{0}^{2}\bigl[5-(4-x^{2})\bigr]dx = \int_{0}^{2}\bigl(1+x^{2}\bigr)dx = \left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2+\frac83 = \frac{14}{3}

Tramo $[2,3]$ , con

\lvert x^{2}-4\rvert = x^{2}-4

\int_{2}^{3}\bigl[5-(x^{2}-4)\bigr]dx = \int_{2}^{3}\bigl(9-x^{2}\bigr)dx = \left[9x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{2}^{3} = (27-9)-\left(18-\frac83\right) = \frac83

El área total.

A = 2\left(\frac{14}{3}+\frac{8}{3}\right) = 2\cdot\frac{22}{3} = \frac{44}{3} \approx 14{,}67 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al resolver $\lvert x^{2}-4\rvert = 5$ hay que plantear las dos ecuaciones. Que la segunda no tenga solución real no es un fallo: significa que la recta $y=5$ no corta al arco central.

Aunque los límites globales sean $-3$ y $3$ , la integral hay que partirla en $x=\pm2$ , porque ahí cambia la expresión de $f$ . Integrar de golpe $5-(x^{2}-4)$ en todo $[-3,3]$ da un resultado erróneo.

Usa la simetría: el integrando es par, así que basta con la mitad derecha y multiplicar por $2$ . Ahorras la mitad del trabajo y reduces a la mitad las oportunidades de equivocarte.