Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera las funciones

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

g : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = 5 - x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = \frac{4}{x^{2}}

a) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

b) [1,25 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de

f

g

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad (-2,1),\; (-1,4),\; (1,4),\; (2,1)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A = 2\int_{1}^{2}\left(5 - x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right)dx = 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{4}{3} \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado habla de "los recintos" en plural, y ese plural es toda la pista: las dos funciones son pares (solo dependen de

x^{2}

), así que la figura es simétrica respecto del eje

OY

y hay dos recintos idénticos, uno a cada lado.

Los cortes salen de una ecuación bicuadrada. Y una vez visto que hay cuatro soluciones, hay que decidir entre qué pares se encierra recinto: no todos los tramos consecutivos limitan una región acotada.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

5 - x^{2} = \frac{4}{x^{2}} \;\Longrightarrow\; 5x^{2} - x^{4} = 4 \;\Longrightarrow\; x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0

Con

t = x^{2}

\;t^{2} - 5t + 4 = 0 \Longrightarrow t = 1

t = 4

. Deshaciendo el cambio,

x = \pm 1, \qquad x = \pm 2

Las ordenadas correspondientes son

f(\pm 1) = 4

f(\pm 2) = 1

, así que los cuatro puntos de corte son

(-2, 1), \quad (-1, 4), \quad (1, 4), \quad (2, 1)

Las gráficas.

f

es una parábola invertida con vértice en

(0,5)

que corta al eje

OX

x = \pm\sqrt{5}

g

es una curva con asíntota vertical

x = 0

y asíntota horizontal

y = 0

, siempre positiva, con dos ramas simétricas que bajan desde

+\infty

.

Qué función va por encima. Basta un punto de prueba en cada tramo:

En $(0, 1)$ , por ejemplo $x = 0{,}5$ : $f = 4{,}75$ y $g = 16$ . Gana $g$ .
En $(1, 2)$ , por ejemplo $x = 1{,}5$ : $f = 2{,}75$ y $g \approx 1{,}78$ . Gana $f$ .
En $(2, +\infty)$ , por ejemplo $x = 3$ : $f = -4$ y $g \approx 0{,}44$ . Gana $g$ , y el tramo no está acotado.

Los recintos cerrados son, por tanto, los correspondientes a

x \in [1,2]

y —por simetría— a

x \in [-2,-1]

.

b) Área del recinto derecho.

A_{1} = \int_{1}^{2}\left(5 - x^{2} - \frac{4}{x^{2}}\right)dx = \left[5x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4}{x}\right]_{1}^{2}

(Recuerda que $\int 4x^{-2}dx = -4x^{-1}$ , y al restar el integrando cambia a $+4/x$ .)

\left[5x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4}{x}\right]_{x=2} = 10 - \frac{8}{3} + 2 = 12 - \frac{8}{3} = \frac{28}{3}

\left[5x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4}{x}\right]_{x=1} = 5 - \frac{1}{3} + 4 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

A_{1} = \frac{28}{3} - \frac{26}{3} = \frac{2}{3}

Área total. Por la simetría respecto del eje

OY

, el recinto izquierdo mide lo mismo:

A = 2\,A_{1} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El plural de "los recintos" hay que tomárselo en serio: si solo calculas la integral entre $1$ y $2$ y das $2/3$ , has resuelto medio problema. Aprovecha la paridad de las dos funciones para justificar la simetría en una línea en vez de repetir la integral.

Y no integres de $-2$ a $2$ del tirón: entre $-1$ y $1$ no hay recinto cerrado por las dos curvas (la rama de $g$ se dispara hacia $+\infty$ en $x=0$ y la integral ni siquiera converge). Haz siempre el esbozo antes de decidir los límites.