Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2019 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se sabe que la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

, dada por

f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \dfrac{\ln(x+1)}{x} & \text{si } x > 0\end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } b = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1\;}

\boxed{\;\text{Derivabilidad: } 1 + a = \lim_{x\to 0^{+}} f'(x) = -\frac{1}{2}\;}

\boxed{\;a = -\frac{3}{2}, \qquad b = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Derivabilidad en el punto de empalme

x=0

son dos condiciones: continuidad e igualdad de derivadas laterales. Pero aquí hay una dificultad añadida: la rama de la derecha no está definida en $x = 0$ (daría

\tfrac00

), así que ambos límites hay que calcularlos como límites, y salen indeterminados.

Para la continuidad, $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x}$ es la indeterminación $\frac{0}{0}$ : L'Hôpital (o el límite notable $\ln(1+x)\sim x$ ) da $1$ .
Para la derivada por la derecha hay que derivar el cociente y volver a pasar al límite, que otra vez es $\frac00$ y necesita L'Hôpital dos veces.

Desarrollo

Continuidad en $x = 0$ . Por la izquierda:

f(0) = \operatorname{sen}(0) + a\cdot 0 + b = b

Por la derecha:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+x)}{x} \;\overset{0/0}{=}\; \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{1+x}}{1} = 1

b = 1

Derivada por la izquierda.

f'(x) = \cos x + a \quad (x < 0) \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = \cos 0 + a = 1 + a

Derivada por la derecha. Derivando el cociente para

x > 0

f'(x) = \frac{\dfrac{x}{1+x} - \ln(1+x)}{x^{2}}

y hay que calcular su límite cuando

x\to 0^{+}

. (Es legítimo obtener $f'(0^{+})$ como $\lim_{x\to 0^{+}} f'(x)$ porque, con $b=1$ , $f$ ya es continua en $0$ y derivable a su derecha: si ese límite existe, coincide con la derivada lateral, por el teorema del valor medio.) El límite es de nuevo

\frac00

. Aplicando L'Hôpital:

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\dfrac{1}{(1+x)^{2}} - \dfrac{1}{1+x}}{2x}

El numerador es

\dfrac{1 - (1+x)}{(1+x)^{2}} = \dfrac{-x}{(1+x)^{2}}

, luego

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-x}{2x\,(1+x)^{2}} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-1}{2\,(1+x)^{2}} = -\frac{1}{2}

f'(0^{+}) = -\frac{1}{2}

Igualando las derivadas laterales.

1 + a = -\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; a = -\frac{3}{2}

a = -\frac{3}{2}, \qquad b = 1

(Comprobación con el desarrollo en serie: $\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^{2}}{3} - \cdots$ , cuyo valor en $0$ es $1$ y cuya pendiente en $0$ es $-\tfrac12$ . Coincide con lo obtenido.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando una rama no está definida en el punto de empalme, no puedes "sustituir": hay que calcular el límite. Aquí los dos que hacen falta son indeterminados y se resuelven con L'Hôpital, uno de ellos aplicado dos veces.

El límite notable $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ conviene tenerlo memorizado: aparece constantemente y ahorra la primera aplicación de L'Hôpital.

Y no confundas $f'(0^{+})$ con "la derivada de la fórmula evaluada en $0$ ": la expresión $\frac{x/(1+x) - \ln(1+x)}{x^{2}}$ tampoco está definida en $0$ . Hay que pasar otra vez al límite. Ese doble paso es exactamente lo que hace difícil este ejercicio.