Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2018 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de

18

euros por metro cuadrado para los laterales y de

24

euros por metro cuadrado para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de

50

euros.

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Resultado

\boxed{\;\text{Coste: } 24\ell^{2} + 72\,\ell h = 50 \;\Longrightarrow\; h = \frac{25}{36\ell} - \frac{\ell}{3}\;}

\boxed{\;V(\ell) = \frac{25\ell}{36} - \frac{\ell^{3}}{3}; \qquad V'(\ell) = \frac{25}{36} - \ell^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \ell = \frac56\;}

\boxed{\;\ell = \frac56 \ \text{m}, \quad h = \frac59 \ \text{m}, \quad V_{\max} = \frac{125}{324} \approx 0{,}386 \ \text{m}^{3}\;}

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Estrategia

Problema de optimización con restricción de coste. El esquema es el habitual:

Variables: lado de la base $\ell$ y altura $h$ .
Función objetivo: el volumen $V = \ell^{2}h$ .
Restricción: el coste total vale exactamente $50$ euros.
Se despeja $h$ de la restricción, se sustituye en $V$ y se optimiza en una sola variable.

El detalle a cuidar es contar bien las superficies: la caja no tiene tapadera, así que hay una base y cuatro laterales.

Desarrollo

Superficies. Con base cuadrada de lado

\ell

y altura

h

\text{base} = \ell^{2} \ \text{m}^{2} \qquad \text{laterales} = 4\,\ell h \ \text{m}^{2}

Restricción de coste.

24\,\ell^{2} + 18\cdot 4\,\ell h = 50 \;\Longrightarrow\; 24\ell^{2} + 72\,\ell h = 50

Despejando la altura.

h = \frac{50 - 24\ell^{2}}{72\,\ell} = \frac{25}{36\,\ell} - \frac{\ell}{3}

Función objetivo en una variable.

V(\ell) = \ell^{2}h = \ell^{2}\left(\frac{25}{36\ell} - \frac{\ell}{3}\right) = \frac{25\,\ell}{36} - \frac{\ell^{3}}{3}

(Con $0 < \ell < \sqrt{25/12}$ , para que la altura sea positiva.)

Optimización.

V'(\ell) = \frac{25}{36} - \ell^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; \ell^{2} = \frac{25}{36} \;\Longrightarrow\; \ell = \frac{5}{6} \ \text{m}

(se descarta la raíz negativa).

Comprobación de que es máximo.

V''(\ell) = -2\ell \;\Longrightarrow\; V''\!\left(\frac56\right) = -\frac53 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

Las dimensiones.

h = \frac{25}{36\cdot\frac56} - \frac{5/6}{3} = \frac{25}{30} - \frac{5}{18} = \frac{5}{6} - \frac{5}{18} = \frac{15 - 5}{18} = \frac{5}{9} \ \text{m}

\ell = \frac{5}{6} \approx 0{,}83 \ \text{m}, \qquad h = \frac{5}{9} \approx 0{,}56 \ \text{m}

V_{\max} = \left(\frac56\right)^{2}\cdot\frac59 = \frac{25}{36}\cdot\frac59 = \frac{125}{324} \approx 0{,}386 \ \text{m}^{3}

Comprobación del coste.

24\cdot\frac{25}{36} + 72\cdot\frac56\cdot\frac59 = \frac{50}{3} + \frac{100}{3} = \frac{150}{3} = 50 \ \text{euros} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Sin tapadera" significa una base y cuatro laterales. Contar dos bases (o solo dos laterales) es el error de planteamiento más frecuente, y a partir de ahí todo el desarrollo es inútil aunque las derivadas estén bien.

Los precios son por metro cuadrado, así que multiplican a las áreas, no a las longitudes: $24\ell^{2}$ y $18\cdot 4\ell h$ . Comprobar al final que el coste da exactamente $50$ euros valida todo el planteamiento de golpe.

Despeja $h$ de la restricción y sustitúyela en el volumen: así optimizas una función de una sola variable. Intentar derivar $V = \ell^{2}h$ con dos variables no lleva a ninguna parte con las herramientas de Bachillerato.