Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque obligatorio). Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1}

Calcula una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(0, 5)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan(x) + 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional impropia: el grado del numerador (

3

) es mayor que el del denominador (

2

). El primer paso, obligatorio, es la división de polinomios, que separa una parte entera (un polinomio, fácil de integrar) de una parte propia.

Además, el denominador

x^{2}+1

no tiene raíces reales, así que la parte propia no se descompone en fracciones simples: se parte en dos trozos reconocibles, uno de tipo logaritmo (numerador proporcional a la derivada del denominador,

2x

) y otro de tipo arcotangente.

Desarrollo

Paso 1: división de polinomios. Como

x^{3} + 1 = x\,(x^{2}+1) - x + 1

f(x) = \frac{x(x^{2}+1) - x + 1}{x^{2}+1} = x + \frac{-x + 1}{x^{2}+1} = x - \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1}

Paso 2: integrar los tres sumandos.

\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}

\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)

(no hace falta valor absoluto: $x^{2}+1 > 0$ siempre)

\int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan(x)

Juntando todo, la familia de primitivas es

F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan(x) + C

Paso 3: imponer que pase por $(0,5)$ .

F(0) = 0 - \frac{1}{2}\ln(1) + \arctan(0) + C = C = 5

F(x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan(x) + 5

Comprobación. Derivando:

F'(x) = x - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1} = x - \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1}

y reduciendo a común denominador,

F'(x) = \frac{x(x^{2}+1) - x + 1}{x^{2}+1} = \frac{x^{3} + 1}{x^{2}+1} = f(x)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si el grado de arriba es mayor o igual que el de abajo, divide primero. Lanzarse a descomponer en fracciones simples una racional impropia no funciona, y aquí además el denominador $x^{2}+1$ es irreducible.

El truco de partir $\frac{-x+1}{x^{2}+1}$ en dos trozos vale para cualquier $\frac{Ax+B}{x^{2}+1}$ : el que lleva la $x$ da un logaritmo (ajustando el $2$ que falta para tener la derivada del denominador) y el término independiente da un arcotangente.