Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \dfrac{9-x^{2}}{4}

.

a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

.

b) [1,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, la recta

x+2y = 5

y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f(1) = 2, \ f'(1) = -\tfrac12: \quad y = -\tfrac x2+\tfrac52 \iff x+2y = 5\;}

\boxed{\;\text{Vértices del recinto: } (1,2) \ (\text{tangencia}), \ (3,0) \ (\text{parábola-}OX), \ (5,0) \ (\text{recta-}OX)\;}

\boxed{\;A = \int_{1}^{5}\frac{5-x}{2}dx-\int_{1}^{3}\frac{9-x^{2}}{4}dx = 4-\frac{7}{3}\;}

\boxed{\;A = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como en otros enunciados de este estilo, la recta de b) es la tangente de a): al restar aparece una raíz doble, señal de tangencia.

El recinto limitado por las tres líneas es el "triángulo curvilíneo" que queda entre la parábola, la tangente y el eje

OX

, a la derecha del punto de tangencia:

por arriba, la recta desde $x=1$ (tangencia) hasta su corte con $OX$ ( $x=5$ ),
por abajo, la parábola desde $x=1$ hasta su corte con $OX$ ( $x=3$ ), y después el eje $OX$ desde $x=3$ hasta $x=5$ .

Lo más cómodo es restar: área bajo la recta en

[1,5]

(un triángulo) menos área bajo la parábola en

[1,3]

Desarrollo

a) La tangente en $x = 1$ .

f(1) = \frac{9-1}{4} = 2 \qquad f'(x) = -\frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; f'(1) = -\frac12

y-2 = -\frac12\,(x-1) \;\Longrightarrow\; y = -\frac{x}{2}+\frac52 \;\Longleftrightarrow\; x+2y = 5

Observación. Es exactamente la recta del apartado b).

b) Los cortes.

Parábola con $OX$ :

\;9-x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm3

.

Recta con $OX$ :

\;y = \dfrac{5-x}{2} = 0 \Rightarrow x = 5

.

Parábola con la recta:

\frac{9-x^{2}}{4} = \frac{5-x}{2} \;\Longrightarrow\; 9-x^{2} = 10-2x \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x+1 = 0

(x-1)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \ (\text{doble, tangencial})

\text{Puntos: } (1,\,2) \ (\text{tangencia}), \quad (3,\,0) \ (\text{parábola-}OX), \quad (5,\,0) \ (\text{recta-}OX)

El recinto. La parábola es cóncava, así que queda por debajo de su tangente. El único recinto cuyo borde lo forman las tres líneas tiene vértices

(1,2)

(3,0)

(5,0)

: por arriba la recta y por abajo la parábola en

[1,3]

y el eje en

[3,5]

.

(La zona bajo la parábola entre $x=-3$ y $x=3$ la encierran solo la parábola y el eje: la recta únicamente la toca en $(1,2)$ .)

El área. Bajo la recta en

[1,5]

menos bajo la parábola en

[1,3]

A = \int_{1}^{5}\frac{5-x}{2}\,dx-\int_{1}^{3}\frac{9-x^{2}}{4}\,dx

Bajo la recta. Es un triángulo de base

5-1 = 4

y altura

f(1) = 2

\frac12\left[5x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{5} = \frac12\left[\left(25-\frac{25}{2}\right)-\left(5-\frac12\right)\right] = \frac12\left[\frac{25}{2}-\frac92\right] = \frac12\cdot 8 = 4

(Y en efecto, $\frac12\cdot4\cdot2 = 4$ $\checkmark$ )

Bajo la parábola.

\frac14\left[9x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \frac14\left[(27-9)-\left(9-\frac13\right)\right] = \frac14\left[18-\frac{26}{3}\right] = \frac14\cdot\frac{28}{3} = \frac{7}{3}

El área del recinto.

A = 4-\frac{7}{3} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La recta de b) es la tangente de a): al igualar sale $(x-1)^{2} = 0$ , raíz doble. Esa es la firma de la tangencia y define la forma del recinto.

El recinto "limitado por" las tres líneas es el que tiene las tres en su borde: el triangulito curvo entre la tangente, la parábola y el eje, en $[1,5]$ . Si tomas toda la zona bajo la parábola desde $x=-3$ , el arco de parábola entre $x=1$ y $x=3$ queda dentro, no en el borde: esa no es la región pedida.

Resta áreas: bajo la recta hay un triángulo de base $4$ y altura $2$ (área $4$ ), y le quitas lo que queda bajo la parábola en $[1,3]$ . Ojo: la parábola solo cuenta hasta $x=3$ , donde corta al eje; más allá es negativa y el borde inferior pasa a ser $OX$ .