Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sean

f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

las funciones dadas por

f(x) = x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = a \quad (\text{con } a>0)

Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de

f

g

\dfrac43

. Calcula el valor de la constante

a

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x^{2} = a \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt a; \ \text{arriba va } g \ (a>0)\;}

\boxed{\;A(a) = 2\int_{0}^{\sqrt a}\bigl(a-x^{2}\bigr)dx = 2\left[ax-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt a}\;}

\boxed{\;A(a) = \frac43\,a^{3/2}\;}

\boxed{\;\frac43 a^{3/2} = \frac43 \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de área inverso: se plantea

A(a)

y se resuelve la ecuación

A(a) = \frac43

.

Los cortes dependen de

a

x^{2} = a \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt a

y como todo es simétrico respecto del eje $Y$ , basta integrar de

0

\sqrt a

y duplicar.

Desarrollo

Los puntos de corte.

x^{2} = a \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt a \qquad (a>0)

\text{Cortes: } \bigl(-\sqrt a,\,a\bigr) \quad \text{y} \quad \bigl(\sqrt a,\,a\bigr)

¿Quién va arriba? En

x = 0

g(0) = a > 0 = f(0)

La recta horizontal está por encima en todo

\bigl[-\sqrt a,\sqrt a\bigr]

.

El área en función de $a$ .

A(a) = \int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}\bigl(a-x^{2}\bigr)dx = 2\int_{0}^{\sqrt a}\bigl(a-x^{2}\bigr)dx

(El integrando es par.)

= 2\left[a x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt a} = 2\left(a\sqrt a-\frac{a\sqrt a}{3}\right)

Con

\bigl(\sqrt a\bigr)^{3} = a\sqrt a = a^{3/2}

A(a) = 2\cdot\frac{2}{3}a^{3/2} = \frac43\,a^{3/2}

La ecuación.

\frac43\,a^{3/2} = \frac43 \;\Longrightarrow\; a^{3/2} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 1

(Cumple $a>0$ $\checkmark$ )

Comprobación. Con

a = 1

los cortes son

x = \pm1

\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{2}\bigr)dx = 2\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(1-\frac13\right) = \frac43 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con límites que dependen del parámetro, deja $\sqrt a$ escrito y evalúa al final. Sustituir números antes de tiempo hace imposible despejar $a$ .

Aprovecha la paridad del integrando: integra de $0$ a $\sqrt a$ y multiplica por $2$ . Ahorra la mitad de las cuentas.

Recuerda que $\bigl(\sqrt a\bigr)^{3} = a^{3/2} = a\sqrt a$ . Manejar bien esa potencia fraccionaria es lo que hace que la ecuación final sea inmediata.