Opción B · Ejercicio 2. Sea f : \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \to \mathbb{R} una función continua y sea F la primitiva de f que cumple F(0) = \dfrac{\pi}{3} y F\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \pi. Calcula: a) [1 punto] \displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\bigl(3f(x) - \cos(x)\bigr)\,dx b) [1,5 puntos] \displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)\,f(x)\,dx

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2019 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \to \mathbb{R}

una función continua y sea

F

la primitiva de

f

que cumple

F(0) = \dfrac{\pi}{3}

F\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \pi

. Calcula:

a) [1 punto]

\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\bigl(3f(x) - \cos(x)\bigr)\,dx

b) [1,5 puntos]

\displaystyle\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)\,f(x)\,dx

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Resultado

\boxed{\;\int_{0}^{\pi/6} f = F\left(\tfrac{\pi}{6}\right) - F(0) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad 3\cdot\tfrac{2\pi}{3} - \bigl[\operatorname{sen} x\bigr]_{0}^{\pi/6} = 2\pi - \tfrac12 \approx 5{,}78\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \Bigl[-\cos F(x)\Bigr]_{0}^{\pi/6} = -\cos\pi + \cos\tfrac{\pi}{3} = 1 + \tfrac12 = \tfrac32\;}

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Estrategia

Ejercicio teórico: no se conoce

f

, solo dos valores de una primitiva suya. Todo se apoya en la regla de Barrow,

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

y en que, por definición de primitiva,

F' = f

En a) basta la linealidad de la integral: se separa en dos, la de $f$ se resuelve con Barrow y la del coseno es inmediata.
En b) hay que reconocer el patrón $\displaystyle\int \operatorname{sen}\bigl(F\bigr)\,F'\,dx$ , que es una integral compuesta: la primitiva es $-\cos(F)$ .

Desarrollo

Dato de partida.

\int_{0}^{\pi/6} f(x)\,dx = F\left(\frac{\pi}{6}\right) - F(0) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

a) Por linealidad.

\int_{0}^{\pi/6}\bigl(3f(x) - \cos x\bigr)dx = 3\int_{0}^{\pi/6} f(x)\,dx - \int_{0}^{\pi/6}\cos x\,dx

= 3\cdot\frac{2\pi}{3} - \Bigl[\operatorname{sen} x\Bigr]_{0}^{\pi/6} = 2\pi - \left(\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} - \operatorname{sen} 0\right)

= 2\pi - \frac{1}{2} \approx 5{,}78

b) Integral compuesta. Como

F' = f

, el integrando es

\operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)\,f(x) = \operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)\,F'(x)

que es exactamente la derivada de

-\cos\bigl(F(x)\bigr)

\frac{d}{dx}\Bigl[-\cos\bigl(F(x)\bigr)\Bigr] = \operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)\cdot F'(x) \quad \checkmark

Por tanto

\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sen}\bigl(F(x)\bigr)f(x)\,dx = \Bigl[-\cos\bigl(F(x)\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi/6} = -\cos\left(F\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) + \cos\bigl(F(0)\bigr)

= -\cos(\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -(-1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

(Alternativa equivalente: el cambio de variable $u = F(x)$ , con $du = f(x)\,dx$ , transforma la integral en $\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi}\operatorname{sen} u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{\pi/3}^{\pi} = 1 + \tfrac12 = \tfrac32$ . Nótese cómo los límites también cambian: pasan a ser $F(0)$ y $F(\pi/6)$ .)

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Consejo

No intentes averiguar quién es $f$ : no hace falta y no se puede. Todo el ejercicio se resuelve con la regla de Barrow y con la relación $F' = f$ . Es un problema de saber qué significan los objetos, no de calcular.

En b), la clave es ver el patrón $\int g'\!\left(F\right)F'$ . Si haces el cambio de variable $u = F(x)$ , cambia también los límites: la integral pasa de $[0,\pi/6]$ a $\bigl[F(0), F(\pi/6)\bigr] = [\pi/3, \pi]$ . Dejar los límites antiguos es el error clásico.

Y ten a mano los valores de $\operatorname{sen}$ y $\cos$ en $\pi/6$ , $\pi/3$ y $\pi$ : aquí todo el resultado numérico depende de ellos.