Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = e^{2-x}

.

a) [0,75 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

.

b) [0,5 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, el eje de ordenadas y la recta

x + y = 3

.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto indicado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f(2) = 1,\; f'(2) = -1 \;\Longrightarrow\; y = 3 - x \quad (\text{es decir, } x+y = 3)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Curva arriba, recta abajo, entre } x = 0 \text{ (eje } OY) \text{ y } x = 2 \text{ (tangencia)}\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A = \int_{0}^{2}\bigl[e^{2-x} - 3 + x\bigr]dx = e^{2} - 5 \approx 2{,}39\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) esconde la clave del resto: la recta tangente en

x=2

resulta ser exactamente la recta

x+y=3

del apartado b). Es decir, la curva y la recta se tocan en

(2,1)

y no se cortan en ningún otro punto.

Por eso el recinto queda cerrado entre el punto de tangencia (

x=2

) y el eje de ordenadas (

x=0

), con la exponencial por encima de la recta.

Desarrollo

a) Recta tangente en $x = 2$ .

f(2) = e^{2-2} = e^{0} = 1

f'(x) = -e^{2-x} \;\Longrightarrow\; f'(2) = -1

y - 1 = -1\,(x - 2) \;\Longrightarrow\; y = 3 - x

es decir,

x + y = 3

la misma recta del apartado siguiente.

b) El recinto. La curva

y = e^{2-x}

es decreciente y siempre positiva; vale

e^{2}\approx 7{,}39

x=0

1

x=2

. La recta

y = 3-x

vale

3

x=0

1

x=2

: la toca justo ahí (es su tangente) y queda por debajo en el resto.

El recinto está limitado:

arriba por la curva $y = e^{2-x}$ ,
abajo por la recta $y = 3-x$ ,
a la izquierda por el eje de ordenadas $x = 0$ ,

y se cierra en punta por la derecha, en el punto de tangencia

(2,1)

.

c) Área.

A = \int_{0}^{2}\Bigl[e^{2-x} - (3 - x)\Bigr]dx = \left[-e^{2-x} - 3x + \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}

En $x = 2$ :

-e^{0} - 6 + 2 = -1 - 4 = -5

En $x = 0$ :

-e^{2} - 0 + 0 = -e^{2}

A = -5 - \bigl(-e^{2}\bigr) = e^{2} - 5 \approx 7{,}389 - 5 = 2{,}39 \ \text{unidades cuadradas}

(El resultado es positivo, como debe ser: $e^{2} \approx 7{,}39 > 5$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en que la recta del apartado b) es la tangente del apartado a). Eso explica que curva y recta solo se toquen en $x=2$ y que el recinto se cierre ahí en punta: no hay que buscar más puntos de corte.

Los límites de integración son $0$ (el eje $OY$ ) y $2$ (la tangencia). El primero lo da el enunciado; el segundo lo has calculado tú en a).

Al integrar $e^{2-x}$ aparece un signo menos: $\int e^{2-x}dx = -e^{2-x}$ , porque la derivada del exponente es $-1$ . Olvidarlo cambia el signo del área y da un resultado negativo, que delataría el error.