Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} la función definida por f(x) = x^{3}+b\,x^{2}+c\,x+d. Halla b, c y d sabiendo que f tiene un máximo relativo en x = -1 y que \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1} = 4

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x^{3}+b\,x^{2}+c\,x+d

. Halla

b

c

d

sabiendo que

f

tiene un máximo relativo en

x = -1

y que

\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1} = 4

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Resultado

\boxed{\;\text{Límite finito} \Rightarrow f(1) = 0: \quad 1+b+c+d = 0\;}

\boxed{\;\text{L'Hôpital}: \ \lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1} = f'(1) = 4 \;\Longrightarrow\; 2b+c = 1\;}

\boxed{\;f'(-1) = 0 \;\Longrightarrow\; 3-2b+c = 0\;}

\boxed{\;b = 1,\ c = -1,\ d = -1: \quad f(x) = x^{3}+x^{2}-x-1 \quad (f''(-1) = -4 < 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres incógnitas, tres condiciones, pero la segunda esconde dos:

Máximo relativo en $x=-1$ : $\;f'(-1) = 0$ .
El límite es del tipo $\frac{f(1)}{0}$ . Para que sea finito (vale $4$ ) hace falta $f(1) = 0$ ; y entonces, por L'Hôpital,

\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1} = \lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{1} = f'(1) = 4

Así que las tres ecuaciones son

f'(-1) = 0

f(1) = 0

f'(1) = 4

.

(Al final conviene comprobar con $f''(-1)<0$ que en $x=-1$ hay realmente un máximo.)

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6x+2b

1) Máximo relativo en $x=-1$ .

f'(-1) = 3-2b+c = 0

2) El límite debe ser finito: $f(1) = 0$ .

1+b+c+d = 0

3) El valor del límite (L'Hôpital): $f'(1) = 4$ .

3+2b+c = 4 \;\Longrightarrow\; 2b+c = 1

Resolviendo. De la primera,

c = 2b-3

. Sustituyendo en la tercera:

2b+2b-3 = 1 \;\Longrightarrow\; 4b = 4 \;\Longrightarrow\; b = 1 \;\Longrightarrow\; c = -1

Y de la segunda:

1+1-1+d = 0 \;\Longrightarrow\; d = -1

b = 1, \qquad c = -1, \qquad d = -1 \qquad\Longrightarrow\qquad f(x) = x^{3}+x^{2}-x-1

Comprobaciones.

f'(x) = 3x^{2}+2x-1 = (x+1)(3x-1) \;\Longrightarrow\; f'(-1) = 0 \;\checkmark, \quad f'(1) = 4 \;\checkmark

f(1) = 1+1-1-1 = 0 \;\checkmark

f''(x) = 6x+2 \;\Longrightarrow\; f''(-1) = -4 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{es máximo relativo} \;\checkmark

(El máximo se alcanza en $\bigl(-1,\,f(-1)\bigr) = (-1,\,0)$ .)

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Consejo

El límite aporta dos condiciones, no una: que sea finito obliga a $f(1) = 0$ (si no, sería $\pm\infty$ ), y su valor $4$ da $f'(1) = 4$ vía L'Hôpital. Con una sola te falta una ecuación.

El atajo $\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1} = f'(1)$ cuando $f(1) = 0$ es la definición de derivada en $x=1$ . Reconocerlo evita hasta derivar formalmente.

Comprueba al final que $f''(-1)<0$ : el enunciado dice máximo, y una condición $f'(-1)=0$ por sí sola también la cumpliría un mínimo o una inflexión.