Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Un alambre de

10

metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;S(x) = \frac{\sqrt3}{36}x^{2}+\frac{(10-x)^{2}}{16}\;}

\boxed{\;S'(x) = \frac{\sqrt3}{18}x-\frac{10-x}{8} = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(9+4\sqrt3\bigr) = 90\;}

\boxed{\;x = \frac{90}{9+4\sqrt3} = \frac{30\bigl(9-4\sqrt3\bigr)}{11} \approx 5{,}65 \ \text{m} \quad (\text{triángulo})\;}

\boxed{\;10-x \approx 4{,}35 \ \text{m} \quad (\text{cuadrado}); \qquad S''>0 \Rightarrow \text{mínimo}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si el trozo del triángulo mide

x

, el del cuadrado mide

10-x

. Cada trozo es el perímetro de su figura:

Triángulo equilátero de lado $\dfrac{x}{3}$ , de área $\;\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}$ .
Cuadrado de lado $\dfrac{10-x}{4}$ , de área $\;\left(\dfrac{10-x}{4}\right)^{2}$ .

La suma es una parábola en

x

con las ramas hacia arriba, así que tiene un mínimo y basta con anular la derivada.

Conviene recordar el área del triángulo equilátero de lado

\ell

\;\dfrac{\sqrt3}{4}\,\ell^{2}

Desarrollo

Los lados. Con

x

metros para el triángulo y

10-x

para el cuadrado,

\;0<x<10

\ell_{\triangle} = \frac{x}{3} \qquad \ell_{\square} = \frac{10-x}{4}

La función a minimizar.

S(x) = \frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{x^{2}}{9}+\frac{(10-x)^{2}}{16} = \frac{\sqrt3}{36}x^{2}+\frac{(10-x)^{2}}{16}

La derivada.

S'(x) = \frac{\sqrt3}{18}x-\frac{10-x}{8} = 0

Despejando. Multiplicando por

72

4\sqrt3\,x-9\,(10-x) = 0 \;\Longrightarrow\; 4\sqrt3\,x+9x = 90 \;\Longrightarrow\; x\bigl(9+4\sqrt3\bigr) = 90

x = \frac{90}{9+4\sqrt3} \approx \frac{90}{15{,}928} \approx 5{,}65 \ \text{m}

Racionalizando (multiplicando por

9-4\sqrt3

, y como

81-48 = 33

x = \frac{90\,\bigl(9-4\sqrt3\bigr)}{33} = \frac{30\,\bigl(9-4\sqrt3\bigr)}{11}

Es mínimo.

S''(x) = \frac{\sqrt3}{18}+\frac18 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo}

Los dos trozos.

\textbf{Triángulo: } x = \frac{90}{9+4\sqrt3} \approx 5{,}65 \ \text{m}

\textbf{Cuadrado: } 10-x = \frac{40\sqrt3}{9+4\sqrt3} \approx 4{,}35 \ \text{m}

La suma de áreas mínima.

\;S \approx 2{,}72

^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada trozo es el perímetro, no el lado: el triángulo tiene lado $\frac x3$ y el cuadrado $\frac{10-x}{4}$ . Confundirlo es el error central del problema.

Ten memorizada el área del triángulo equilátero: $\frac{\sqrt3}{4}\ell^{2}$ . Sale de la altura $\frac{\sqrt3}{2}\ell$ , pero en un examen conviene no deducirla desde cero.

El resultado es irracional, y eso es normal aquí: no todos los problemas de optimización dan números redondos. Racionaliza y da también el valor aproximado.