Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{3x\,(2m-x)}{m^{3}}, \qquad \text{con } m>0

Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de

f

y el eje

OX

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;3x(2m-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0, \ x = 2m \quad (\text{límites de integración})\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{2m}\frac{6mx-3x^{2}}{m^{3}}dx = \frac{1}{m^{3}}\left[3mx^{2}-x^{3}\right]_{0}^{2m} = \frac{12m^{3}-8m^{3}}{m^{3}}\;}

\boxed{\;A = 4 \ \text{u}^{2} \quad \text{(independiente de } m)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Área entre una parábola y el eje

OX

: los límites de integración son sus cortes con el eje, que aquí se leen directamente de la forma factorizada.

3x(2m-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \quad \text{o} \quad x = 2m

Como

m>0

, el intervalo es

[0,\,2m]

y en su interior la parábola está por encima del eje (ramas hacia abajo por el signo de

-x^{2}

), así que la integral sale positiva y no hace falta valor absoluto.

El detalle bonito: el área no depende de $m$ .

Desarrollo

Cortes con el eje $OX$ .

f(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3x\,(2m-x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0, \quad x = 2m

Signo en el intervalo. Desarrollando,

f(x) = \frac{6mx-3x^{2}}{m^{3}}

El coeficiente de

x^{2}

-\dfrac{3}{m^{3}} < 0

: parábola con las ramas hacia abajo, luego entre sus dos raíces es positiva. Por ejemplo en el vértice

x = m

f(m) = \frac{3m\cdot m}{m^{3}} = \frac{3}{m} > 0 \quad \checkmark

El área.

A = \int_{0}^{2m}\frac{6mx-3x^{2}}{m^{3}}\,dx = \frac{1}{m^{3}}\left[3m\,x^{2}-x^{3}\right]_{0}^{2m}

Evaluando en $x = 2m$ :

3m\,(2m)^{2}-(2m)^{3} = 3m\cdot 4m^{2}-8m^{3} = 12m^{3}-8m^{3} = 4m^{3}

Y en $x=0$ todo se anula. Por tanto

A = \frac{4m^{3}}{m^{3}} = 4

\textbf{El área vale } 4 \textbf{ unidades cuadradas, sea cual sea } m>0

Comprobación con $m=1$ . Entonces

f(x) = 3x(2-x) = 6x-3x^{2}

, con raíces

0

2

A = \int_{0}^{2}\bigl(6x-3x^{2}\bigr)dx = \left[3x^{2}-x^{3}\right]_{0}^{2} = 12-8 = 4 \quad \checkmark

(Interpretación: al crecer $m$ el recinto se hace más ancho —de $0$ a $2m$ — pero exactamente igual de más bajo —la altura máxima es $3/m$ —, y ambos efectos se compensan.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No desarrolles el paréntesis antes de buscar los cortes: la forma factorizada $3x(2m-x)$ te los da a simple vista. Solo hace falta desarrollar para integrar.

Trata $m$ como una constante durante toda la integración: sale del integrando y los límites $0$ y $2m$ son números. Integrar respecto de $m$ por error es un fallo grave.

Que el resultado no dependa de $m$ es correcto y merece un comentario en el examen: es una propiedad de la familia de parábolas, no un despiste de cálculo.